按照《普通高中数学课程标准(2017年版)》的定义,“逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据规则推出其他命题的素养.主要包括两类:一类是从特殊到一般的推理,推理形式主要有归纳、类比;一类是从一般到特殊的推理,推理形式主要有演绎”.本文简要介绍心理学关于逻辑推理的一些研究,并讨论如何将这些研究的成果应用于小学数学教学.
一、心理学关于逻辑推理的一些研究
(一)演绎推理的研究
1.演绎推理能力的发展.
方富熹等将270名被试按照9、12、15岁分为三组,同时考察了不同学校类型、家长文化程度以及学生智能发展水平对假言演绎推理能力发展的影响.他们使用了三套内容与生活有关的试题,采用口头报告的形式,即由主试说出假言判断的前提,让被试在无误地复述之后,就主试提出的问题进行推导并阐述理由.研究结果显示,儿童充分条件假言演绎推理能力从9岁开始发展并随着年龄的增长而提高,9岁为开始发展水平,12岁为过渡阶段,15岁为成熟水平.该研究还指出,被试的家庭教育背景、学校教育条件等外部条件以及智能水平、学习能力等内部因素都影响着其假言推理演绎能力的发展.
李丹等选用能够反映事物之间蕴含关系并且与生活联系较多的命题来考察儿童的演绎推理能力,选取了从小学三年级到初中三年级七个年级的495名被试,让他们完成20道假言演绎推理的选择题.研究结果显示,小学三年级到初中三年级学生的假言演绎推理能力随着年龄的增长而增长,并且初中一年级左右是一个快速增长的关键期.在实验中,他们选取了两所教学水平不同的学校做对照,经过测试发现,高教学水平的学校学生的推理能力发展领先低教学水平的学校一个年级;通过对教师的访谈发现,在教学中注意培养、训练学生的逻辑思维能力有助于其推理能力的发展.
选言推理是其中一个前提为选言判断,另一个前提对这个选言判断的一部分选言肢进行肯定或否定的演绎推理.选言推理可分为不相容选言推理和相容选言推理.不相容选言推理以不相容选言判断作为大前提.其推理规则是:肯定一个选言肢,可以否定其余的选言肢;否定一个选言肢,对于选言大前提含两个选言肢的选言推理可以肯定另一个选言肢,对于选言大前提含三个选言肢的选言推理则不能肯定另外两个选言肢中的任何一个.相容选言推理以相容选言判断作为大前提.其推理规则是:肯定一个选言肢,不能否定其余的选言肢;否定一个选言肢,对于选言大前提含两个选言肢的选言推理可以肯定另一个选言肢,对于选言大前提含三个选言肢的选言推理则不能肯定另外两个选言肢中的任何一个.吴荣先选择从小学三年级到初中三年级,每个年级对应于一个年龄组,从9.5岁到15.5岁(每个年龄组的范围为±3个月)共七个年龄组的学生为被试,考察了不同年龄段学生选言推理能力的发展情况.研究结果显示,学生的选言推理能力随着年级的增加而不断发展,而相容选言推理能力和不相容选言推理能力的发展是不平衡的:在小学四年级就基本掌握不相容选言推理,而到初中三年级才基本掌握相容选言推理.
图形推理是指借助图形来推理的过程.林崇德等探讨了小学生图形推理策略的差异,将145名小学生按照数学能力分为三个对照组,并将从CRT瑞文智力测验中选出的14道题根据图形关系分类,对学生进行测试.他们将儿童的推理策略分为6类:(1)分析策略,指能够正确发现规律并用以解决问题;(2)不完全分析策略,指能够发现部分规律并用于解决问题;(3)知觉分析策略,指不能明显抽象出规律,但能发现一些变化,并根据这些变化做出选择;(4)知觉匹配策略,指倾向于选择相似或完全不同的图形作为答案;(5)自主想象策略,即凭借个人喜好进行选择;(6)格式塔策略,即把缺损图形补充完整的策略.研究结果显示,不同年龄的儿童在推理策略选择上有着不同的特点:总的来看,在小学阶段,知觉分析策略占主导地位,且分析策略的使用随年龄的增长而上升;二年级开始,学生的图形推理能力有较大飞跃,到了五、六年级,学生能够不受题目形式的影响,从本质上把握逻辑规则.
2.影响演绎推理的因素.
方富熹等为探查12岁儿童充分条件假言演绎推理能力的差异,选择12岁的“普通儿童”与“数学成绩优异儿童”各20人,分别采用与生活经验联系密切、与生活经验相悖和比较抽象的三套试题进行个别测试.测试结果显示,12岁的儿童普遍具有充分条件假言演绎推理的能力,但是他们的推理过程容易受到材料内容性质和自身生活经验的影响;同时,“数学成绩优异儿童”的假言演绎推理能力更强,说明儿童假言演绎推理能力与其智能水平有关.
李国榕等根据直言三段论推理的四种格(全称肯定、全称否定、特称肯定和特称否定)、“四概念错误”(把两个不同概念当作同一概念使用,导致在三段论中出现四个概念)和“特称前提推出错误结论”等三个类型,编制了含20道推理题的问卷,对在升学率分别为低、中、高的三所普通中学的学生进行测试.测试结果显示,中学生直言三段论推理是否正确和推理的格密切相关,其中全称肯定型的成绩最好;并且,学习成绩的高低也影响着推理能力的发展.
沃建中等研究了小学生在图形推理中策略选择的问题.结果发现,在解决简单的问题时,不同水平的学生在策略选择上无明显差异,大部分学生都采用分析策略,都能找到规律完成题目;然而随着难度的增加,不同水平的学生在策略选择上出现了差异,高水平的学生多使用分析策略和知觉分析策略,中等水平的学生多使用知觉分析策略,而低水平的学生多使用知觉匹配策略.结合访谈还发现,低水平学生的问题表征方式造成他们不能正确进行图形推理,也影响了他们推理策略的选择使用.