0 引言 城市快递网络是由城市快递节点及城市之间的配送路线组成的多中心网络系统。网络中的每个节点代表我国的一个快递节点城市，城市间的配送路线即为网络的链路。不管是台风、地震等自然灾害还是火灾等人为的不可抗力因素都可能使某些城市快递节点停止运营[1]。当网络中的某个或某些节点停止工作时，该节点与网络中其他节点之间的链路也将断裂，城市快递网络因此由一个完整的网络分裂成多个网络，导致网络性能的整体下降。由于城市快递网络是一个无标度网络[2]，网络中部分节点是核心节点，在网络中具有较为重要的地位，一旦这些重要节点失效，将会严重制约整个网络的运行效率。因此，判断节点的重要性并找出其中的关键节点，通过节点重要性衡量网络的抗毁性并以此为依据找到提高网络抗毁性能的方法成为新的突破口，是一个值得研究的问题。针对以上分析，研究城市快递网络的可靠性和抗毁性，通过网络节点之间的重要性差异对城市快递网络进行简单有效的网络抗毁性能测度是非常有必要的。 目前关于城市快递网络抗毁性测度的研究较少，大部分学者侧重于研究城市快递网络的复杂网络特性。崔文田等[3]借鉴复杂网络理论研究方法，度量和分析了陆运快递网络的复杂结构特性，得出：陆运快递网络是一个小世界网络，具有无标度特性，受地理地理分布影响具有社区结构，一定程度上表现出明显的富人俱乐部特征等结论；陈慧[4]利用复杂网络理论分析快递企业配送网络特点，构建中通速递在福建地区配送网络的拓扑结构；朱倩[5]对高铁快递网络的复杂特性和鲁棒性进行了研究，在这个基础上建立了网络演化模型，通过仿真揭示了高铁快递网络的演化方向和发展路径；谢逢洁等[6]运用快递企业服务网点地域分布的实际数据形成了对快递产业各企业之间竞争关系网络拓扑的抽象描述，分析了其拓扑结构的复杂特性；张锦等[7]通过网络爬虫手段搜集了国内某快递企业在一定时期内的订单数据，以此刻画了该企业的全国配送网络，并对该网络的拓扑结构和特性进行了分析。 大部分学者对城市快递网络的拓扑结构和网络特性进行了一定的研究，但较少的学者在城市快递网络的拓扑结构抗毁性方面进行研究。本文将在复杂网络理论的基础上，通过节点度等复杂网络基本指标得到节点重要度评价矩阵并确定每个节点的重要性，结合网络结构熵的概念提出基于节点重要度网络结构熵的方法对城市快递网络的抗毁性进行测度。 1 城市快递网络的抗毁性 目前关于城市快递网络性能的描述主要有：网络的可靠性、抗毁性和有效性，网络的抗毁性、可靠性和有效性是反映城市快递网络不同方面的指标，其中抗毁性是衡量网络拓扑稳定性的最重要指标之一。网络的抗毁性主要为网络在遭受蓄意攻击时表现出的网络拓扑结构稳定性，即破坏这个网络的困难程度[8]。 由于本文着重研究的是城市快递网络的抗毁性，因此将城市快递网络的抗毁性描述为：当城市快递网络遭受随机或蓄意攻击时，网络维持或恢复其性能的能力。即将“抗毁性”涵盖狭义的抗毁性、可靠性和有效性，尽可能更好地反映城市快递网络的拓扑结构稳定性。 一般情况下，可从两个方面考虑来增强城市快递网络的抗毁性能。一方面是将网络拓扑结构作为研究对象，考虑网络拓扑结构的抗毁性能；另一方面是从路由策略入手，选择合适的路由策略支撑网络的平稳运行。网络拓扑结构是路由策略选择的基础，只有明确了城市快递网络的拓扑结构特性，才能选择合理的路由策略。因此本文从城市快递网络的拓扑结构入手，通过确定网络节点的重要度找出网络中的重要节点，同时引入网络结构熵的概念，用网络结构熵刻画出城市快递网络的“异质性”，用以衡量网络的抗毁性能，对城市快递网络的抗毁性能进行评估。 2 网络结构熵和节点重要度 “熵”的概念最早由克劳修斯(T.Clausius)于1854年在热力学中提出，从宏观的角度，熵是用来计算某个系统中能量分布的均匀性，熵越大表明能量分布越均匀，反之，则越不均匀[9]。而“网络结构熵”这个概念则是由谭跃进、吴俊两位学者最先提出，他们认为网络的无标度性究其根源是一种网络“异质性”，“熵”的概念可以用来研究复杂网络的这种“异质性”，即网络结构熵[10]。网络结构熵越大，表明网络“异质性”越强，网络结构越无序，则网络的抗毁性能越差；网络结构熵越小，表明网络“异质性”越弱，网络结构越有序，则抗毁性能越强，因此本文用网络结构熵的概念来研究城市快递网络的抗毁性能。 网络中任意节点i的度ki表示节点i所连接其他节点的数量，反映了节点i的通达性，是衡量节点特性的一个简单而又重要的指标，网络中所有节点度的平均值称为网络的平均度，记为〈i〉。节点i的度可以表示为： k[,i]=
a[,ij]
