高一学生学习集合的若干困难分析及对策研究

      一、问题提出

      《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》对集合的要求是：“学习集合的有关概念和表示方法，以及集合之间的关系和基本运算，初步掌握基本的集合语言，了解集合的思想方法。集合作为一种语言，将贯穿在整个高中数学内容中”。然而在教学中深刻感受到学生在学习集合时有以下困难：集合中有关内容概念抽象，理解不透或难以理解；出现的符号术语多，经常用错；学习方法与初中数学差异明显，有些不适应；初中有些内容掌握得不牢，做题出现各种错误。针对以上困难，教师在平时教学中要抓住学生的这些问题，仔细分析并力求有的放矢，本文拟通过例题谈一谈学生在学习集合中的若干困难，并给出一些对策。

      二、集合学习中的若干困难分析及对策

      1.初、高中数学衔接内容的缺失

      大多数初三学生经过初三一年的奋力拼搏，通过中考进入高中，初中毕业的暑期可能是最轻松也是心情最放松的假期，根本不会好好利用暑假时间为高中学习打基础，“好好放松一下吧”，这是很多初中毕业生的心里话。再加之现行教育下对初、高中衔接内容重视不够，市场上关于初、高中衔接内容的资料比较少。浪费了一个暑假的时间后，学习时数学忘的很多，在高一刚开始学习时会有很大的不适应。高一数学集合内容比较抽象难懂，要用到很多初中内容及其深化，如：因式分解（十字相乘法）、奇数偶数也可以是负数、整数范围内的整除性问题、含有字母系数的一元一次方程、不等式与一元二次方程的解的讨论等，虽然这些内容在初中数学里都讲过，但学生的掌握情况不好，再加上遗忘了一部分，出现的问题很严重。

      针对以上问题及学生学习过程的实际困难，我觉得一方面学校可以利用开学前的一部分暑假给学生发放一些暑假作业，比如数学学科最好能发给学生有关初、高中数学衔接内容的讲义，让学生利用暑假有限的时间提前为高中数学的学习打好基础。另一方面，教师可以在教学的过程中查漏补缺，现学现用。

      

      

      (3)举一反三：整数按整除性的分类：

      整数按被2除分为奇数与偶数（余数分别为0，1）；

      整数按被3除分为三类（余数分别为0，1，2）；

      整数按被4除分为四类（余数分别为0，1，2，3）；

      ……

      2.集合中有关概念的理解

      集合中的概念有课本上定义的基本概念，如集合、元素、空集、子集、交集、并集、补集等，也有在题目中新定义的概念，如差集A-B=｛x｜x∈A，｝、对称差集A△B=(A-B)∪(B-A)等。这些概念有的难于理解，有的比较抽象。初学者面对这些新概念有时会力不从心，做题时容易学后忘前，归根结底是对这些概念的本质理解不够。针对这些问题，教师在讲解时一方面注意采用一些通俗易懂且形象的语言解释一些概念，如讲到空集概念时，定义“不含有任何元素的集合”学生就不太理解，但如果打这样一个比方：假设空房子表示一个集合，由于空房子内没有任何东西，于是这个集合就是空集。再比如可以理解为：一个空房子里放有一个空盒子，空房子表示一个集合，这个集合含有一个东西，就是空盒子，空盒子不含有任何东西，就是空集。于是就比较好理解了。另一方面学习这些抽象的概念时注意一些解题方法的使用，如求集合的交、并、补的运算等经常利用数轴或画文氏图的方法可以使问题变得简单很多。请看下面一例：

      

      辨析 上述解法对新定义符号“－”的理解不当，致使A-(A-B)在迁移运用时出现错误。A-(A-B)的正确理解应是｛x｜x∈A且｝，而A-B为图中的区域Ⅰ，故A-(A-B)应为图中的区域Ⅱ，应选B。

      4.集合中元素的三大属性的理解

      集合中元素主要有确定性、互异性、无序性等，特别是互异性与无序性的理解，学生做题时经常忘记检验或出现一些不合规范的集合表示，如写成集合A=｛1，2，1｝。对于这类问题，教师在教学中可以寻找一些类似的例子，多多练习。