交通网络与城市化水平的线性相关模型

      中图分类号：K901.8　文献标识码：A

      城市体系与交通网络之间是相关互动、协同发展的[1]，由此可以推知：城市化水平与交通网络之间也应存在某种关系。作为科学研究，仅仅说明一种关系的存在是不够的，只有建立表征这种关系的数学模型，问题才会上升到理论水平。周一星研究发现，城市化水平与人均收入之间在一定时空条件下服从对数关系法则[2]，与此同时，Taylor等则证明交通网络连接度与人均收入之间也满足对数关系[3]。本文将基于这两个发现导出城市化水平与交通网络连接度的线性关系模型，并对推导结果进行间接的实证分析，从而得出某些理论结果和实践教益。

      1　基础模型

      1.1　城市化水平与人均收入模型

      1982年，周一星提出了城市化水平与人均产值关系的对数模型[2]，该模型可以表作

      z=alnx-b (1)

      式中z为城市化水平，x为人均产值或收入，a、b为参数。对美国情报社编制的《1977年世界人口资料表》提供的世界157个国家和地区的人口和产值数据进行处理，令x=y/p,z=u/p，可以发现，x、z之间具有明显的对数分布形势[2,4]，这里y为一个国家或地区的产值如GNP，u为一个国家或地区的城镇人口，P为一个国家或地区的总人口。剔除20个异常点，对剩余的137个样本作进一步的处理，规律性更加明显（图1），拟合得如下模型z=15.569lny-74.680，相关系数R=0.960。继周一星之后，许学强对上述关系进行了图解分析[5]。

      

      图1　城市化水平与人均收入的对数关系

      （周一星，1982）

      Fig.1　The semi-olgarithmic relationship between per capita GNP and level of urbanization

      1.2　交通连接度与人均收入模型

      几乎与周模型提出同时，P.J.Taylor其《地理学的计量方法》一书中提出，交通网络连接度与人均收入之间也满足对数关系[3]，即有如下模型

      β=klnx+ψ

      (2)

      式中β为表征交通连接度的β指数，y为人均收入，k、ψ为参数，x可以表示为x=y/P，β则被定义β=c/ν，这里ν为交通结点数，实则区域城镇数目，c为结点间直接连通的交道线路数目，P为区域总人口。利用区域铁路交通连接度与人均收入之间的关系，可得明显的对数分布趋势，曲线形状与图1相似（参见文献[3] p216），拟合模型为y=0.381lnx+0.197，相关系数R=0.715。

      2　理论推导

      2.1　模型变换及其地理意义

      通过前面的两个数学模型，可以建立城市化水平与交通网络发育程度之间的数量关系。模型变换基于两个基本事实：其一，人均产出与人均收入之间一般满足线性关系。在宏观经济学中，国民总产值(GNP)＝国民净产值(NNP)＋折旧，国民净产值(NNP)＝国民收入(NI)＋间接税。假定折旧率为α，间接税率为β，则有NNP＝（1－α）GNP，NI＝（1-β）NNP，从而NI＝（1-α）（1-β）GNP，即有GNPNI，显然人均GNP与人均NI在模型变换中数理等价。其他产值与收入之间有类似的关系。其二，表征不同产值或收入的各种变量之间通常服从线性关系。河南省的城市化问题研究表明，当城市化水平与人均GDP之间满足对数关系时，它与其它人均产出之间也服从对数关系[6]，这意味着不同的人均产出之间可以线性代换。将式(1)化为了lnx=(z+b)/α，代入式(2)，立即得到

      β=Az＋ζ

      (3)

      式中参数A=k/α，ζ=kb/α+ψ。推导结果即式(3)表明，区域城市化水平与交通网络的发育程度之间为线性互动关系。

      2.2　模型的精致化

      假定一个区域的城镇服从位序－规模分布法则即具有分形性质，则可用Zipf模型近似表征城市人口分布特征如下

      

      式中r为城市位序，P(r)为位序为r的城市的人口规模，、q为参数，其中具有分维性质，近似地有q=1/D，这里为城市规模分布的分维。令该区域的城镇数目为v，则有

      

      式中参数μ=AP1/P。研究表明，式(4)可进一步精确化为三参数Zipf模型[7]

      

      此时参数μ=AC/P。上式为基于空间结构的城市体系与交通网络的分维关系。

      3　实证分析

      3.1　验证思路

      最好的验证方法是直接利用观测得来的城市化水平值和交通网络连接度β值进行图解分析与计算判断，看看二者是否满足线性关系。但是，交通网络连接度的数据很难取得，因此，可以进行间接验证。假定结点（城镇）数目v为常数（这个假设逻辑上合理且现实中可能，故可接受），则式(6)化为交通线路数目c与z的线性关系；进一步地，假定所有的线路长度相等（这个假设逻辑上合理，实践中取平均值，仍可接受），则线路数目与线路总长度数理上等价，即有