中图分类号 N092:/O112 文献标识码 A 文章编号 1000-0224(2004)03-0251-06 1 概述 《容圆七术》一书是清末数学家黄宗宪晚年的一部数学著作，是其著作集《古琴古砚斋算稿》中的一种，由梅城知足堂刊行于光绪二十二年（1896年）[1]。黄宗宪，字玉屏，湖南新化人，出生年代大约是19世纪40年代，同治十年（1871年）拜长沙丁取忠（1810-1877年）为师，从事数学研究[2]。在此期间，黄宗宪常与湘阴左潜（？-1874年）、湘乡曾纪鸿（1848-1877年）等人共同研讨数学问题，为《白芙堂算学丛书二十一种》的出版做了大量的校订工作，成为清末长沙以丁取忠为首的数学研究团体的重要成员之一[3]。光绪二年（1876年），黄宗宪随郭嵩焘一行出使英国，任供事，后又赴法国、西班牙等地，直到光绪八年春才回国[1,4]。黄宗宪的数学著作还有《求一术通解》、《曲面容方》、《悯笑不计》等[5]。 黄宗宪在《容圆七术》的序中说道：“山居日暇，检旧稿，有关制造测绘之用而为古法所未备者，摘录聚类而编之，颜曰容圆七术。”[6]从这段话中可以看到这样几层意思：其一，该书的主要内容在他作序时（1895年秋）之前很久就已经成稿；其二，他编写该书的主要目的在于应用；其三，他认为，书中应用于测绘方面的数学知识是前所未有的。 2 对《容圆七术》的分析及成果介绍 《容圆七术》分上、中、下三卷，上卷即给出了解决容圆问题的七术，共20道题。容圆问题是中国古代数学研究的古老课题之一，在这方面最具有代表性的著作是宋元著名数学家李冶（1192-1279年）的《测圆海镜》，该书给出170个问题，全都是围绕已知直角三角形求其内切圆、旁切圆及与之有关的线段而展开的[5]。《容圆七术》上卷在容圆问题上作了几步创造性的推广，即从直线三角形容圆到弧线三角形容圆的推广，从容一个圆到容多个圆的推广，从圆弧三角形容圆再到圆锥曲线弧三角形容圆的推广。《容圆七术》中卷又作了从相交的弧三角形容圆到相切、相离的弧三角形容圆的推广。 2.1 《容圆七术》上卷内容及成果 解决容圆问题的关键是根据已知条件求出所容圆的半径，《容圆七术》的上、中卷主要是采用代数方法求解，即每个问题都给出了以所求半径为未知数的代数方程，然后在细草中给出详细的推导过程。当然，上卷的第一术是个例外，因为它不仅给出了代数方程和推导过程，而且给出了几何解法，“以显数理之通”。下面就以第一术为例介绍其解法： “设如勾股容圆，有勾股及圆径各数，欲于三角各容递小诸圆，其术如何？术曰：以圆半径减股为小股，圆半径为小勾，求得小弦，以比例入之： 一率：圆半径加小弦（即图1中AF），
图1 三角容递小诸圆图 二率：圆半径减小弦（即图1中AG）， 三率：圆半径（即图1中OD）， 四率：递容圆半径（即图1中
）。” 用现代数学符号来表示，即： 已知直角三角形的直角边AC及内切圆半径OD，求另一内切圆半径
. 解：由勾股定理得
尽管西方数学早已传入中国，但是，黄宗宪在他的数学著作中仍然坚持使用中国传统数学的模式，即只给出算法程序，不叙述推导过程。当然，上述第一个等式成立是显而易见的，第二个等式的成立理由如下：
以上是黄宗宪给出的几何解法，下面介绍他的代数解法。 首先需要说明一点：《容圆七术》的所有代数解法中，未知数均以“天、地、人、物”等汉字表示，线段均以“甲、乙、丙、丁”等10个天干表示，图形上的点则以“子、丑、寅、卯”等12地支表示。本文对其代数解法的介绍，是用现代数学语言对其内容的一个直译：
本文之后附有两个命题，以示推广：
