换元思想在初中数学学习中的应用思考

　　一、问题提出

　　数学为人们提供一种理解与解释现实世界的思考方式，运用数学思维可以建立数学对象之间的逻辑关系，通过计算思维可以将各种信息简约和形式化[1].G.波利亚[2]在《怎样解题》中提及，数学教学的目的在于培养学生的思维能力.数学思想方法是一种数学意识，属于思维的范畴，在解决数学问题的过程中，经常会运用化归与转化的数学思想方法，将复杂问题转化为简单的、熟悉的问题，而换元法则是实现化归与转化的重要策略.换元思想的关键是构造元和设元，从而使得非标准型问题标准化、复杂问题简单化，以此获得问题的解决.新课标新教材背景下，初中数学学习中，经常会用到换元思想，换元思想的内涵与思维特点、学生运用换元思想的思维困惑等，这是值得再思考的.以苏州市某区七下期末统考的一道数学试题为例：

　　

　　二、换元思想在数学学习中的运用现状

　　数学学习中，换元思想是对问题进行转化与化归的重要策略，已有的研究主要关注换元思想在不同主题知识中的运用、不同换元方法的运用及在中考试题或数学竞赛中的运用情况.

　　（一）在不同主题知识中的运用

　　

　　（二）不同换元方法的运用

　　初中数学学习中，会关注不同换元方法的运用，除了前面提及的三角换元，还有双换元、局部同构换元、常值换元等.其中双换元是通过引入两个新变量替换原问题中的量，进而简化复杂问题的解题策略，其核心在于通过变量代换降低问题的复杂程度，比如多个根式的分母有理化问题[5]：化简.可以令，易发现：a[.2]-b[.2]=2，于是，于是巧妙降低原问题的复杂程度.解决问题过程中用字母代替问题中的数值，也属于常值换元法.再比如可以运用局部同构换元，构造新函数，再利用新函数的图象和性质解决数学问题[6].当然运用局部同构换元时，需要对问题式进行适当的变形或放缩，以得到局部同构式，构造同构模型.这个方法在高中数学中运用较多，比如通过指对数互化，将函数式的局部化为同构式，其中可能需要运用重要不等式进行放缩.换元思想的运用核心是需要认真观察和分析问题的结构特征，从而考虑换元对象，过程中强调方法运用的灵活性及解决问题视角的多元性，指向灵活性、批判性的思维品质的培养.

　　（三）在中考试题或数学竞赛中的运用

　　

　　综上，换元思想在初中数学学习中起到重要作用，也是培养学生思维品质的较好思维载体.而由引例可以看出，学生对换元思想的灵活运用还存在提升空间.数学学习时，如何引导学生更系统地理解换元思想，进而可以迁移运用，这是需要关注的.所以，研究欲基于换元思想的思维特点剖析其教学价值，并结合新教材中数学知识内容的呈现，以此思考换元思想在初中数学教学中的运用，指向培养学生的学科素养和思维品质.

　　三、换元思想的教学价值

　　任何一个概念、方法的引入必然有其必要性及价值，换元思想也不例外，需要引导学生从“为什么要使用换元思想”中体会思维方法的教学价值.

　　（一）理解换元思想，助力问题的化归与转化

　　《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称2022课标）中明确提出，要整体分析学生的认知规律和数学内容本质，整体设计，分步实施，呈现数学知识或数学思想间的内在逻辑关系，促进学生的理解和把握.换元是将一个或几个变量构成的数学表达式中的部分用新的变量表示，以简化问题的解决.所以换元的本质是“转化与化归”[9]，通过以“元”换“式”（如整体换元）、以“式”换“元”（如三角换元）等将复杂问题简洁化、非常规问题常规化等实现问题的转化与化归.比如引例中，面对方程组（**）与方程组（*）首先需要思考要求解的方程组（**）与方程组（*）之间的关系，然后整体思考，继而尝试变形探索如何实现化归与转化，比如将方程组（**）变形为方程组（*）的形式，这就需要基于整体视角去分析.

　　（二）凸显结构性与等价性，指向知识的联结与迁移

　　换元思想作为初中数学学习中常用的解题策略，其在解决问题的过程中蕴含结构性和等价性的特点.解决问题的本质是到被破坏的秩序中去找寻，以达到新的秩序；每一种类型表达一种结构方式，“结构”本身掩盖了反思所揭示出来的那种混乱[10].比如，引例中可以看出方程组（**）与方程组（*）之间隐藏某种结构一致性，这一点学生不难发现.但是方程组（**）中存在“不和谐”，如何突破这种“不和谐”，这是关键.这里的难点是方程组中“变量”较多，需要确定一个“固定的结构”，这样才能有效转化.这里采用将方程组（**）变形为这时便突破“不和谐”，从被破坏的秩序中寻找到了秩序（结构），即不妨令于是变形为此时换元思想奏效.运用换元思想的难点是从“被破坏的秩序”中寻找“结构”，这一过程需要等价变形助力，所以换元思想兼备“结构性”和“等价性”，解决问题的过程中需要学生基于已有认知经验和知识，实现知识的联结与迁移.