几何是基础教育数学课程中的重要主题，学习几何能让孩子们体验人类思维的力量[1].20世纪50年代至80年代期间，为帮助学生应对在几何形式化证明学习中的困难和“屡错不改”问题，范希尔夫妇（Pierre M.van Hiele & Dina van Hiele-Geldof）提出了几何思维水平模型和几何连续学习阶段（范希尔理论），对西方几何课程建设和教学变革产生了深远影响[2]，成为国内外数学教育研究中用以指导几何课程和教学的重要理论之一.国内引介较晚，多聚焦于范希尔理论结果的应用，缺少完整解读和对理论形成细节的深度剖析，割裂形成过程和潜藏思想的范希尔理论导致研究者在构建分析框架和设计教学时无法完整理解.本文通过梳理范希尔理论研究原始文献，回顾其发展历程，提炼理论内核，剖析理论形成与发展的深层思想和规律，以期为推进范希尔理论在中国本土化提供启示. 一、范希尔理论的发展 范希尔夫妇是荷兰蒙台梭利初级中学教师，他们关注到学生在几何学习中总遇到相同问题的原因是：荷兰中学几何课程的学习需要相对“较高层次”的思维与学生在“较低层次”思维的经验缺失[1]，造成了现有的思维水平与所要学习的几何知识之间的差距[3]. 20世纪60年代，教育心理学开始结合学校实践，为教学实验提供科学依据.在此背景下，范希尔几何教学实验融合了发展心理学、意识层理论与格式塔心理学的关键观点.发展心理学强调儿童通过动作协调建构稳定的心理结构，这启示范希尔强调通过具体操作活动促进几何概念发展；意识层理论将几何认知划分为从直观表象到抽象逻辑思维的不同层级，这与范希尔理论的几何学习阶段划分相吻合；格式塔心理学的统觉法则强调视觉整体性，为范希尔的教学实验设计提供了认知规律的支撑[1]. 范希尔夫妇通过一项几何教学实验分析学生几何思维的层次以及教学如何帮助学生从一个思维层次过渡到下一个思维层次中，实验划分两个教学阶段.第一阶段为“几何主题教学”，教师提供可操控的学习材料帮助学生在直观层面形成对几何图形的整体认知，在这一阶段学生到达了几何思维的第一水平：视觉[4].第二阶段则进入“瓷砖教学（平铺）”，通过“瓷砖”拼图等活动引导学生探究图形属性间的逻辑关系，进而促进学生由直观认识向初步逻辑推理的过渡，这一阶段学生会达到几何思维的第二水平：分析.通过对教学实验中学生表现的系统观察与分析，范希尔夫妇最终提出了五个几何思维发展水平，并针对各水平设计了五个相应的教学阶段，二者合称为“范希尔理论”. 自1974年Wirszup首次在美国介绍范希尔理论以来，对范希尔理论的研究与应用可以分为三类.其一，早期研究多聚焦于检验范希尔理论本身和其假设，大量实证研究验证范希尔几何思维水平发展的序列性、不跳跃性[5，6]，并研发出几何思维水平的测评工具[7].其二，范希尔理论为各国几何课程的评估、修订及变革提供了依据，美国NCTM《学校数学的原则与标准》等文件借鉴该理论，强调通过实物模型、图形操作等活动逐步培养学生的空间观念与推理能力[8]；教材也采用从直观到形式推理的几何内容呈现序列[5].其三，通过对学生和教师的教学干预来验证范希尔理论的有效性[6]. 二、范希尔理论的内核 （一）范希尔几何思维水平 范希尔夫妇在几何教学的初始阶段发现，学生与教师间的相互“不理解”可能是因为教师与学生处于不同的几何思维水平，使用了不同水平的语言系统.1956年，范希尔夫妇提出儿童几何思维的五个水平[1]，后经过验证和修订[9，10]形成了对儿童五个思维水平的描述（历史文献中范希尔曾使用过两种不同的编码方案——水平0-水平4或水平1-水平5，但调查发现，若使用前者则仍有部分学生并未达到水平0，因此，本文采用后者）. 1.模型 水平1：视觉（Visualization）——学生对基本的几何概念（如简单的形状）进行推理，主要是通过对概念作为一个整体的视觉考虑，而不明确考虑其组成部分的属性. 水平2：分析（Analysis）——学生通过对构成部分和属性的非正式分析来推理几何概念，概念的必要属性得以确定. 水平3：非形式化演绎（Informal Deduction）——学生对概念的属性进行逻辑排序，形成抽象定义，并能区分确定概念的一系列属性的必要性和充分性. 水平4：形式化演绎（Formal Deduction）——学生在数学体系中进行正式推理，包括未定义的术语、公理、基本逻辑体系、定义和定理. 水平5：严密性（Rigor）——学生能比较基于不同公理的数学体系，并能在没有具体模型的情况下研究各种几何图形. 通过开发与数学对象相关的特定语言，参与互动学习活动，学生能够进入下一个更高层次的思维[11].1986年，Pierre M.van Hiele将其合并为三个水平（视觉水平、描述水平、理论水平）[12]，并继续提出可以通过比较不同学科第三水平的不同结构构建出更高水平，即哲学水平，甚至更高思维水平：
