一个特殊的有余数问题的调查研究

　　年红梅老师在《从结果的不同到意义的一致性》[《小学教学》2023年第12期（下）]一文中，由“708÷3÷6=？”的三个结果引发思考，提出了四个理解其意义一致性的方法.日常教学中，我们经常强调运算的准确性和一致性，而这道题揭示了在特定情境下，不同计算方法可能导致不同结果.我对这道题产生了极大的兴趣：面对这道题，学生会怎么解决？如果向五、六年级学生展示这些方法，他们中会有多少人能认识到三种结果都是正确的？学生不能正确理解的主要困难是什么？针对这些困难，可以采取哪些策略？带着这些问题，笔者展开了测试与分析.

　　一、测试问题与对象

　　被测试地区四年级学生已经学习了整数的简便运算和商不变的性质，并会在五年级时学习小数除法和分数的基本性质.对此，我们选取了四～六年级各84个学生作为测试对象.

　　【测试问题】如图1所示，小明、小红、小李三位同学在解决同一题目时，采用三种不同的方法，得出三个不同的答案.他们都认为自己是对的，请你帮他们看看谁的结果是正确的.题目如下：708块蛋糕，平均分给3个小组的同学，每个小组有6人，每人可以分到多少呢？

　　1.请你在下面的答案中，选择一个你认为正确的答案.（

　　）

　　A.只有小明做的对 B.只有小红做的对

　　C.只有小李做的对 D.3人做的都对

　　2.请详细说明你的理由.

　　二、结果与分析

　　（一）测试结果

　　数据显示，选择三种做法都对的学生中，四年级有18人（约占21.43%），五年级有25人（约占29.76%），六年级有32人（约占38.10%）.三个年级中，能正确理解三种做法的人数均未超过一半.随着年级的升高，能正确理解的人逐渐增多，但其幅度并不大.

　　（二）结果分析

　　分析测试答卷，笔者注意到学生的解题方式主要集中在情境化推理、验证性推理、运算律推理、表征型推理四个类型，如表1.

　　

　　

　　1.情境化推理.

　　情境化推理主要指将算式与特定的生活情境结合，深入理解算式背后的含义及其运算的合理性.这里主要是学生借助分蛋糕的具体情境，关联不同运算的意义，并以此推断三种方法是否正确.如，学生认为：①小明是先算出3组每组可以分得几块蛋糕，再算6人每人可以分得多少蛋糕；②小红是先全部分给1个小组的6位组员，算出每人能分得多少蛋糕，再由这些组员分给其他2个小组的对应组员，算出每人能分得多少；③小李是先算出一共有几人，再算每人能分得多少蛋糕.以上方法都可以将708块蛋糕平均分给3个小组的6名同学，所以都正确.采用这种策略思考的学生人数在参与测试的学生人数里占比最高，但是在采用该策略的97人中，能正确理解的有45人，未到一半.

　　2.验证性推理.

　　本次测试中验证性推理有两种形式：①自我参照验证，看到其他解法时，反复用自己掌握的方法重新计算，若结果与他人不一致便直接否定对方；②逆运算验证，通过将结论中的除数与商相乘再加上余数，检验结果是否等于被除数，来判断方法正确与否.三个年级中，使用这两种方法判断的学生人数差别不大，进一步分析后，发现学生有明显的思维梯度：四年级学生采用自我参照验证的居多，五、六年级则较多采用逆运算验证.自我参照验证的学生往往认为只有和自己算的一样的做法才是正确的，但多数学生只能想到一种计算方法；逆运算验证的情况比较复杂，学生不知道该用余数乘哪一个除数，因此用这两种方法正确判断的人都不多.其中逆运算验证正确的学生仅1人，他认为每人先分的份数以及余数的含义不同，可以反过来思考“小明的余数是每小组余2，所以2×3=6（个），小红的余数是6个人每人余1个，所以1×6=6（个），小李是一共余6个”，从而得出3人的答案都正确.

　　3.运算律推理.

　　运算律推理是指通过除法的性质、商不变的性质等运算性质，推理判断三种算法是否正确.如，有学生认为，小明是直接计算，小红用了“交换律”，小李用了“结合律”，按照除法运算性质708÷3÷6=708÷（3×6）=708÷6÷3，可以得出三种方法都正确.随着年级的升高，采用该策略解决问题的人增多了，但不显著，且三个年级中使用该策略的人数均未达到参与测试人数的三分之一.

　　4.表征型推理.

　　表征型推理是指在不改变其他因素的前提下，通过只改变结果的表征形式判断三种方法是否正确.如，有的学生不用“39……2”的形式表征结果，而是根据乘法、除法之间的关系，以及倒数的性质等，得到三种算法的最终结果都可以用708/3×6表示.还有学生认为，整数部分一样，进一步计算余数部分，可以得到其都能用0.3表示，因此三种方式本质是相同的.像这样理解的学生极少，仅有2人.

　　（三）错因分析

　　针对学生的错因，通过调查发现：对“结论多样性”认识不够，对运算律和余数理解不足是学生的主要问题所在.

　　1.认为计算题答案是唯一的

　　通过调查发现，有28个学生认为计算结果必定是唯一的，甚至有部分学生根据题目结果是否和自己的一样判断结论正确与否，只注重了自己思路本身的分析，没有思考其他思路是否有着和自己表征一样的合理性.

　　2.余数难以与除数对应

　　部分学生出现了选择困难的情况.本题是连除的形式，在面对两个除数时，许多学生不知道该选择哪一个除数与商相乘.如，有的学生用39分别和三个算式中的除数6、3、18相乘，再加上余数，发现只有18×39+6=708，从而判断只有小李正确.还有的学生表示三种做法都是分给18人，39×18=702，702+6=708，因此只有余数是6的方法对，进而判断小李的方法正确.这说明，对学过分数与除法关系的五、六年级学生而言，逆运算验证还是有一定困难的.