基于运算一致性的小数乘法教学重构

　　《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确要求让学生“初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识；感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识”[1].运算一致性强调整数、小数、分数运算在算理与算法上的内在统一，基于对苏教版小学数学五年级上册“小数乘法”相关内容的系统分析，以深化算理理解，促进运算能力提升为目标，我们以“计数单位”为核心，重构小数乘法教学.

　　一、教材编排

　　（一）数的认识与乘法运算的编排顺序

　　教材通常以螺旋上升的方式编排，苏教版教材中，乘法运算的相关内容被分散编排在二到六年级，且以“整数—小数—分数”的顺序编排：二年级上册学习“表内乘法”，三年级上册学习“两、三位数乘一位数”，三年级下册学习“两位数乘两位数”，四年级下册学习“三位数乘两位数”，五年级上册学习“小数乘法”，六年级上册学习“分数乘法”.而数的认识相关内容编排顺序与此不同，往往是按照“整数—分数—小数”的顺序编排.

　　（二）算理理解与转化思想结合编排

　　苏教版教材在《小数乘整数》和《小数乘小数》两节课中，分别编排了“购买西瓜”和“计算房间面积”的情境，帮助学生借助转化思想来理解算理：一是借助元、角、分的单位换算；二是借助积的变化规律，即先算整数乘法，再移动小数点.教材这样的编排，一方面可以很好地激活学生的生活经验，另一方面，也为学生理解小数乘法算理提供了从整数到小数的迁移路径.然而，这样编排也容易让学生将小数乘法视为一种基于整数乘法的“特殊计算技巧”.

　　（三）竖式引入与算理理解结合编排

　　苏教版教材在小数乘法内容中编排了竖式算法，旨在借助竖式的直观呈现帮助学生分步骤理解算理：一是在编排《小数乘整数》时，引导学生用多样化的算法计算小数乘整数，并呈现竖式计算方法，渗透基于“计数单位”的乘法算理（如图1），使学生在比较中明晰竖式算法的独特价值；二是在编排《小数乘小数》时，引导学生先按整数乘法列竖式计算，再联系积的变化规律明晰整数乘法与小数乘法之间的转化关系（如图2）.

　　

　　

　　二、存在问题

　　（一）数系之间缺乏有效关联

　　不论是整数乘法、分数乘法，还是小数乘法，都应先确定积的计数单位，再确定计数单位的个数，最后根据“计数单位和计数单位的个数”得出计算结果，这是运算一致性的体现.现有教学常常局限于“小数”领域内部，将小数乘法视为独立于整数乘法和分数乘法的全新内容，缺少整数乘法与小数乘法之间的关联比较，把小数乘法当成“加上小数点的整数乘法”来教，用积的变化规律解释算理，导致学生未能真正理解“新计数单位的产生过程”和“计算计数单位个数的过程”.至于之后的分数乘法教学，就更不会主动想到要关联小数乘法来进行教学了.

　　小数是特殊的分数，如果能够基于分数乘法理解小数乘法的算理，以分数乘法的普遍规则作为沟通整数、小数、分数乘法一致性的桥梁，就能帮助学生形成“所有乘法都是计数单位与计数单位的个数相乘的结果”的统摄性观念，强化数系关联，建构对乘法运算的整体性认知.

　　（二）以算法教学代替算理教学

　　1.以算法多样性代替算理解构

　　课堂是学生与学生、学生与教师交流的重要场域，若将课堂时间大量用于竖式书写规范、对位技巧和点小数点的反复操练，学生就无法很好地理解竖式中隐含的位值原理.一些教师在学生尚未充分理解算理时就教学算法，试图以算法多样化代替算理解构，压缩了算理的探究空间，导致学生未能有效积累计数单位的表象，无法基于直观感知理解计数单位，进而感悟运算的一致性.例如，在引导学生多样化表达“0.8×3”的算法时，教师会给出诸如“0.8+0.8+0.8=2.4”“8角×3=24角=2.4元”，以及画图、小数的意义等多种表达，强调竖式计算的优越性，并试图让学生在算法对比中理解算理.

　　2.以积的变化规律代替算理理解

　　“积的变化规律”是学生从整数乘法向小数乘法过渡的桥梁，但其本质仍是算法层面的过渡工具，虽然对于学生计算小数乘法有一定的帮助，但教师仍应从算理角度引导学生理解这一规律，进而基于计数单位感悟运算的一致性.例如，一些教师在教学“2.4×0.8”时，满足于学生能说出“因为2.4×10=24，0.8×10=8，乘数一共乘100，所以积要除以100，得1.92”这一计算过程，却未发现这样的教学中算理是被遮蔽的：首先，“积的变化规律”由整数乘法推导而来，当用于解释小数乘法时，就构成了循环论证，是对算理本质的回避；其次，学生的回答中未提到“对计数单位的处理”，说明他们仅记住了“往前数两位，点上小数点”的操作，却不知“0.01从何而来”.