以图启思：圆中作图的“一题一课”教学重构

　　一、尺规作图的价值

　　在初中数学教学中，尺规作图可以作为一个桥梁，将学生从具体的操作引向抽象的思维，不仅有助于学生掌握基本的几何概念，如点、线、角、三角形、四边形和圆，以及这些元素之间的关系，提升学生对数学知识的理解，还能促进其数学高阶思维发展.很多尺规作图问题是开放的，具有多种解决方案，这对提升学生创新能力大有裨益.因此尺规作图不仅是学习几何的一个工具，更是一种让学生体验数学之美、锻炼思维、提升素养的重要载体.

　　二、“一题一课”的教学方式

　　“一题一课”的核心是围绕一个问题展开，按一定知识结构开展深度探究的教学方式，这个过程使学生掌握一项或多项核心技能和知识，并在此基础上构建形成新的知识体系[1].在“一题一课”中，教师可能会采用多种教学方法来引导学生学习.例如，教师可以通过讲解法，详细地讲解题目的解题思路和步骤；可以通过启发式教学，引导学生自主思考和探索解题方法；通过讨论法，让学生相互交流解题思路，共同解决问题.这些教学方法都是“一题一课”教学方式的具体运用；这种方式鼓励学生深入思考，并在解决问题的过程中深入理解概念.在这个过程中，教师更多的是引导和促进学生的自主学习，而不仅仅是传授知识.学生需要积极参与问题解决的过程，发展独立思考和批判性思维能力.教师可以根据学生差异化的思维及时调整问题的难度，以适应不同学生的需求.

　　三、案例研究和实践应用

　　本文以苏科版教材九年级“圆”一章后的一节习题课“轴对称视角下圆中作图探究”为例，从一道尺规作图题开始，围绕一题多法、一题多变来复习圆的相关知识，培养学生的数学高阶思维.

　　（一）初步作图，提升几何直观

　　活动1 如图1，已知⊙O和弦AB，请你在⊙O中作弦CD，使得弦CD=AB.

　　师生活动：教师引导学生就“圆中相等的弦”的构造展开联想.大部分学生能借助已有经验想到“作一条线段等于已知线段”，在圆上任取一点C，用圆规截取CD=AB（如图2）.

　　

　　追问1：关于“圆中两条相等的弦”你还有什么联想？能否尝试用不同方法解决问题？

　　师生活动：学生围绕“相等弦”展开讨论，联想到圆心角定理、全等三角形、垂径定理等均与弦的长度相关，并由此展开深度思考.教师适时引导，同时对学生较为精彩的思考予以肯定并展示分享.

　　方法1：如图3，构造弦AB所对的圆心角∠AOB，再在圆上作一个角与已知角相等即可.如，分别联结AO，BO并延长，交圆于C，D两点，联结CD.

　　

　　方法2：构造全等三角形，如下页图4，联结AO并延长交圆于点E，作∠DAO=∠BAO，易证ΔADO≌ΔABO，此时AD=AB，点C和点A重合，全等构造方法较多，限于篇幅，这里不一一呈现.

　　方法3：利用“弦心距相等则弦相等”结论，如下页图5，过点O作OG⊥AB，确定弦心距OG，再以点O为圆心、OG长为半径作圆，作此圆的一条切线与大圆O交于点C，D，CD即为所求.

　　

　　追问2：观察以上方法，思考它们之间有什么共同特征？

　　师生活动：学生从不同角度对本题进行思考和总结，例如，解题方法均基于基本作图方法，都需要分析问题需求、明确作图目标、对知识展开充分联想等.教师引导学生从整体的角度观察图形，发现所有的解法均具有轴对称的特征，为进一步研究轴对称视角的作图埋下伏笔.

　　教学说明：活动从简单问题出发，构建多维度的探究空间.通过师生互动，引导学生从问题分析、实践猜想到原理溯源，实现思维的激发与进阶.学生经历从直观操作（复制弦长）→角操作（旋转等角）→图形全等（构造对应边）→量化分析（弦心距控制）的思维过程，体现从动态（任意截取）到静态（限定角和距离）的深化，帮助学生用轴对称的眼光观察图形、得到猜想，用数学思维思考依据，再用数学语言表达方法，充分发挥问题的素养价值，提升几何直观素养和逻辑推理能力.

　　（二）限制条件，培养发散思维

　　活动2 已知⊙O和平面上一点P，过点P作两条直线，使直线被⊙O截得的两条弦长相等.

　　师生活动：教师引导学生按点P与⊙O的位置关系进行分类探究.当点P在圆上时，迁移活动1的经验，可得图6.当点P在圆外时，可通过构造等弧的方式作出相等的弦，即以点P为圆心作适当半径的弧交⊙O于点A，点C，联结割线PA，PC交圆O于点B，点D，则PA=PC，∠PAC=∠PCA，可得，则，最终得出弦AB与弦CD长度相等（如图7）.当点P在圆内时，迁移点P在圆外的作图经验，以点P为圆心作适当半径的弧交圆O于点A，点D，延长AP，DP交圆O于点B，点C，则PA=PD，∠PAD=∠PDA，同理进行等弧叠加得，可得弦AB=CD（如图8）.