基于跨学科的教材中“函数”例习题难度分析

　　一、问题提出

　　教科书是教师教和学生学的主要依据，为教和学提供了精心选择的课程资源，其中数学题具有育人功能，题目中渗透跨学科内容，有益于打破学科壁垒，培养综合性和创新型人才.以数学为中心的高中跨学科教学是指在高中数学课程中选择合适的中心题目，运用自然科学、信息技术、社会科学、人文科学等领域的知识，对所指向的中心题目进行加工和设计教学[1].由此来看，数学题目教学是跨学科教学的重要途径之一，而因材施教的目的之一就是力求不同的学生在数学上都能获得不同的、良好的发展.例习题作为高中数学教材重要的组成部分，其难度很大程度上决定了数学教材的难度.因此跨学科内容是如何渗透于例习题中，又是如何影响例习题难度，随着学科综合化的到来新旧高中数学教材中的题目综合难度又发生了怎样的变化，值得我们探讨并期望以此对高中数学教材跨学科例习题的设计和教学提出建议.

　　二、研究设计

　　（一）研究对象的选取

　　《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《新课标》）提出函数是贯穿高中数学课程的主线，函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥重要作用[2].又两版教材都是各自时期使用最为广泛的教科书，极具有代表性，由此，本文以函数主题为例对2019年版和2007年版高中数学必修教材中涉及跨学科内容的例习题难度进行分析比较.具体内容见表1.

　　

　　（二）研究工具说明

　　根据已有的研究，建立从数量、类型、开放性三个维度进行表层分析，从综合难度维度进行深层分析的跨学科视角下数学题难度分析框架，但为体现“跨学科”研究的特点，增加学科来源维度丰富研究内容，以便了解数学题的来源情况，从而提出有意义的教材编写建议.

　　1.学科来源

　　考虑到数学题有可能涉及各个学科，根据.中华人民共和国国家标准：学科分类与代码.（2009年版）将学科来源划分为自然科学类、人文与社会科学类、工程与技术科学类、医药科学类、农林科学类五个大类，为后文编码统计的方便，将五个大类称为一级学科分类，其下细分的62个学科称为二级学科分类，如表2所示.

　　

　　2.题目数量

　　本文所研究的对象是跨学科例题、习题，其中例题指的是教材里面给出详细解题步骤的题目，习题则包含练习、习题、复习参考题三个栏目.对于数学题量的计数，如果一道题目当中是连续多次提问，则按一道题目计数；如果一道题下面设置了若干个分问题，则按分问题的个数进行计数.特别地，如一道题目涉及多个二级学科分类，则按照二级学科的数量分开统计跨学科数学题的数量.

　　3.题型

　　按照高考试卷的题型分类标准，有选择题、填空题、解答题，但是为全面考虑数学题类型，将判断题、计算题、证明题也列入本文的研究之中.

　　4.开放性

　　根据数学题结论是否唯一，分为封闭型和开放型两类.开放型数学题是相对有明确条件和明确结论的封闭式数学题，开放型数学题是指题目的条件不完备或结论不确定的数学题[3].

　　5.综合难度

　　2014年，王建磐等[4]以顾泠沅提出的数学认知水平分析框架为依据，对原有的综合难度模型进行修正，并利用修正后的模型对中国、美国、法国、俄罗斯、澳大利亚的六套高中数学教材例题进行比较分析.由于本文研究的是跨学科视角下数学题，因此不考虑背景因素中“无背景”水平，其他因素水平的划分保持不变，于是将鲍建生数学题综合难度模型修改如表3.

　　

　　每道题都处于五个难度因素的各个水平之上，利用加权平均就可以得到各个因素的量化数据.例如，有一道数学题目，“背景”因素上对应“科学情境”水平，“数学认知”因素上对应“概念”水平，“运算”因素上对应“复杂符号运算”水平，“推理”因素上对应“复杂推理”水平，“知识含量”因素上对应“多个知识点”水平，则在五个因素上的水平赋值分别为3，2，4，3，3.具体的量化统计公式为：，其中d[，i]表示五个难度因素的加权平均值，dij表示第i个难度因素的第j个水平的权重，n[，ij]表示第i个难度因素的第j个水平的题目个数，n表示题目总数[4].得到具体数据之后，用雷达图对数学题综合难度进行比较分析.

　　三、研究结果与分析

　　（一）两版数学题的表层分析比较