现代认知心理学认为，学习是学习者以信息的输入、编码为基础，根据已有经验及认知结构，主动建构内部的心理表征，进而获得心理意义的过程.数学学习是对学生知识、技能、概念、法则在心理上组织起恰当的有效认识结构，使之成为个人内部的知识网络的一部分.数学学习水平的层级划分对数学教学有着不容忽视的意义. 一、设计的背景 函数是贯穿高中数学课程的主线，而复合函数作为函数知识的重要组成部分，是历年高考的热门考点.同时，复合函数与导数、不定积分等有密切的联系，是数学学习的基础.理解复合函数的概念及性质，对数学学习有着举足轻重的作用，有助于学生进一步完善数学知识结构. 从数学必修一开始，不少习题就与复合函数有密切的联系.然而，人教版高中教材中关于复合函数的概念直到选修2-2才正式给出，并且是一种描述性的定义，还不能算是严格定义.许多教师在教学时只是简单介绍这一定义及其常用性质，不少学生对复合函数的理解只是知其表面形式，经不起推敲，对其单调性的判断方法“同增异减”更是云里雾里，停留在机械记忆的阶段. 虽然受高中生认知水平的局限，我们不可能要求学生严谨地理解复合函数的本质，但如果教学中能采取适当的方法，将会有助于复合函数这一难点的学习. 二、设计的理念 根据皮亚杰的建构主义学习理论，本设计以学生为主体，利用信息技术，融入数学实验活动，为学生理解复合函数知识搭建“脚手架”. 三、设计的创新之处 （一）选题具有价值 复合函数的教学至关重要，然而现阶段，针对复合函数知识理解的实证研究非常少.因此，以复合函数为选题，创新教学设计，具有教学价值. （二）教学手段新颖 充分使用现代信息技术，利用各种丰富的感性材料，引领学生主动参与、发现、探究、解决问题，从而深化学生对复合函数知识的理解，开发学生的创新潜能. （一）教学背景 【教学对象】中等水平及以上学校的高一学生. 【课时安排】40分钟. 【学情分析】 （1）认知基础：学生已学习过函数的相关概念及其性质，能理解映射的含义，具备用定义法判断函数单调性的能力. （2）认知障碍：外函数与内函数的分辨，复合函数几何意义的理解. 【教学目标】 （1）知识与技能 ①理解复合函数的概念； ②了解复合函数的几何意义； ③理解用“同增异减”方法判断复合函数单调性的内涵，会用“同增异减”求复合函数的单调区间. （2）过程与方法 通过参与发现、探究、分析、归纳等数学活动，理解复合函数，体会“同增异减”的内涵. （3）情感态度价值观 在主动参与数学活动的过程中，提高自信心，增强数学学习的兴趣. 【教学重点】复合函数的概念、“同增异减”的内涵； 【教学难点】中间变量、外函数及内函数三者的辨别、复合函数的几何意义； 【教学方法】引导探究法 【教学工具】几何画板、MATLAB、PPT （二）教学过程设计 1.创设情境，引入新知 （1）我们已经学习了函数的概念：设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记为y=f（x），x∈A. 函数是两个集合之间的对应关系.常见的函数如
，都可以轻易地找到这种对应关系，画出函数图象.但有时候，我们遇到的函数的形式比较复杂，比如
，函数图象不容易画出来，那么，如何确定这种函数的性质呢？ 设计意图 提出问题，激发学生产生弥补“心理缺口”的学习动力. （2）引导学生观察发现，x都是以
的形式出现，如果设
，则
，变成我们比较熟悉的二次函数的形式.这样，通过在x，y之间搭一座桥u，我们化复杂为简单. （3）提出疑问：这座桥的建立是否合理？建了这座桥之后又可以带来一些怎样的便利？有什么新发现？
