“一元二次方程的根与系数的关系”教学设计

      一、教学内容解析

      本节课选自人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册第21章“一元二次方程”第2.4节，主要内容是探究一元二次方程的根与系数的关系.此前学生已经学习了一元二次方程的解法和根的判别式，本节课的内容是对一元二次方程的两根与系数之间的关系的深化，是今后继续探究一元二次方程根的情况的重要工具，在高中数学的学习中也有着更加广泛的应用.因此，尽管本节课是选学内容，却起着承上启下的作用.

      二、学生学情分析

      《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者.本节课的教学对象是九年级学生，在此之前，他们已经学习了一元二次方程的解法及根的判别式，虽然学生的学习能力存在差异，但大部分学生已经会解一元二次方程，且九年级学生已具备一定的逻辑推理能力.因此，在学习了一元二次方程的解法后，自主探究一元二次方程的根与系数的关系是完全可能的.

      三、教学目标设置

      本节课的教学目标设置如下.

      （1）知道一元二次方程的根与系数的关系.

      （2）能够借助问题的引导，发现、归纳并证明一元二次方程的根与系数的关系，在探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律.

      （3）通过探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生的观察、分析、综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性和勇于探索的精神.

      四、教学策略分析

      《标准》提出，学生学习应该是一个生动的、活泼的、主动的和富有个性的过程.认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式.本节课采用创设情境法、启发引导法、示范讲解法等教学方法来突出教师的主导作用，通过鼓励学生主动参与、相互交流、合作探究，积极参与教学活动，感悟知识的形成过程，发挥学生在课堂中的主体地位，以及教师引导、点拨的示范角色，真正实现以教学目标为导向的“教、学、评一体化”.

      五、教学过程设计

      （一）复习回顾，思考旧知

      回顾学过的一元二次方程知识，思考下列问题.

      （1）一元二次方程的一般形式是什么？

      （2）一元二次方程的求根公式是什么？

      【设计意图】通过设计问题的方式来复习旧知，让学生都能够积极回答问题，活跃课堂氛围，激活学生的思维，并在问题的指引下导入新课，进入探究主题，从而不断激发学生的求知欲望和学习热情，为本节课一元二次方程的根与系数关系的探究之路做好前期的预热.教师根据学生的回答，适时进行引导和深化，为本节课进一步深入探究一元二次方程的根与系数关系的其他形式及推理证明做铺垫.

      （二）问题情境，导入新课

      问题1：已知矩形的长和宽分别是方程的两个实数根，求这个矩形的周长和面积.

      追问：方程的系数较大，用学过的方法解这个方程比较烦琐，是否还能用其他方法，不解方程也能快速求出矩形的周长和面积？

      【设计意图】由于方程的系数较大，计算难度较大，激发学生对于本节课内容的探究欲望.同时，让学生理解“数学源于生活，又应用于生活”，激发学生的数学学习兴趣.

      （三）观察猜想，推理探究

      活动1：探究一元二次方程二次项系数为1的情况.

      思考1：填写表1，猜想二次项系数为1时，方程的根与系数的关系.

      

      问题2：观察表1中的两个方程的两根的和、两根的积与系数有什么关系？你发现了什么规律？

      师生活动：学生每4人为一个小组进行合作探究，并验证猜想出的一元二次方程的根与系数的关系.

      归纳：二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系：两根的和为一次项系数的相反数，两根的积为常数项.

      

      问题3：如何进行推理验证？

      

      【设计意图】为了让学生在课堂中进行深层次的探究和发现，让学生真正成为课堂的主体，同时兼顾不同层次的学生，细化了一元二次方程的根与系数关系的形成过程，先让学生研究二次项系数为1的情况，形成一个比较简单的结论，再迁移推广到一般情况，渗透了从特殊到一般的数学思想.根据学生的最近发展区，给学生搭建适当的思维阶梯，让学生的思维呈螺旋式上升.

      活动2：探究一元二次方程二次项系数不为1的情况.