大案例贯穿与探究式教学的耦合及应用

      一、问题提出

      《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《课标》）中将高中数学课程分为必修课程、选择性必修课程和选修课程.其中必修课程包括五个主题，分别是预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动.作为主题一的预备知识引起笔者的很大兴趣，在《课标》未颁布之前，笔者在高三一轮复习时也喜欢在每个专题复习前设置一节预备知识复习课，也起到了很好的教学效果.磨刀不误砍柴工，预备知识就是“磨刀”的环节，为后续学习提供必要的知识和能力的保障.笔者所在的江苏省自2018级入学的学生将参加《课标》指导下的新高考，为此，笔者在教授2019级新生时，在未得到新教材的情况下，还是创造性地按照《课标》的课程内容组织教学.本文就主题一的预备知识教学实践进行梳理与总结，旨在与同仁切磋交流.

      二、预备知识的构成

      《课标》中关于预备知识课时分配建议如下（表1）：

      

      从内容来看，预备知识包括四个单元的知识，以义务教育阶段数学课程内容为载体，结合集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式等内容的学习.

      从设计意图来看，希望借助这一段学习，帮助学生学会通过常用逻辑用语梳理学习知识的基本逻辑关系，学会比较学习的重要模型（如方程、不等式、函数），抓住本质，整体把握.预备知识为高中数学课程做好学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初升高数学学习的过渡.

      从教学时间来看，预备知识大约用时18课时，处于高中学生入学的第一个月，面对新环境、新同学、新老师，进入新内容的学习.

      三、预备知识的教学实践

      进入高中以后，数学语言在抽象程度上突变，很多数学概念让学生感觉很玄，超出了他们的生活经验和理解范畴.而数学语言的抽象化对学生的数学思维能力提出了更高的要求.加之数学容量的剧增，导致了很多同学对学好数学失去了信心.为此，笔者在教授2019级新生时，针对主题一预备知识的教学，主要有以下做法.

      做法一 精心设计一份诊断测试卷

      这份诊断试卷是在学生入班之后进行测试的，内容主要是初中的基本运算，旨在摸底，了解班级学生的数学基本功，为下一阶段的教学指明方向.

      题目的设计以基础题为主，适当编拟一些思维拓展题，如在2019级的诊断测试卷中，笔者选了当年几道高考题，它们所用的知识很少，初中毕业生完全可以应对.部分样题如下：

      试题1 若x为有理数，那么x是有理数还是无理数？

      试题2 若a≠0，且，求的值.

      试题3 请你写出一个一元二次方程，使得它的两个根分别为-3和2.

      试题4 （2019年高考数学全国3卷理科第3题）

      《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100名学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为

      A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8

      试题5 （2019年高考数学北京卷理科第14题）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒，为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元，每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

      （1）当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；

      （2）在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________.

      试题6 （2019年高考数学全国1卷理科第4题）

      

      古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是