一次函数图象为什么是一条直线

　　一、问题的发现

　　担任初中数学教师十几年，“一次函数的图象”新授课教过五六次，观摩同仁同一内容的课堂也不下十次.教学过程大同小异：出示（或者通过一个问题情景得到）一个一次函数的关系式，学生列表、描点、连线发现它的图象是一条直线；再出示一个一次函数的关系式，同样的操作后学生发现它的图象也是一条直线.于是师生得到一致的结论：一次函数图象是一条直线.

　　及至一次这一内容的公开教学课后，一个小男生走过来问：“老师，一次函数图象为什么是一条直线？能证明吗？”实在地说，确实没有想过这个问题.研讨活动中，笔者将这个问题带给同仁们，他们也都表示“没有想过”，“不需要证明吧，让学生画图感受就行了”.研讨中也有针对这一问题的证明思路：先选择满足函数关系式的两点确定直线，然后再检验发现其他满足关系式的点也在这条直线上；取满足条件的三点，求任意两点组成的直线的斜率，发现斜率是一样的，所以三点共线；在函数y=kx+b的图象上任取两点，相应纵坐标的增量与横坐标的增量之比是定值，也就是k不变，所以函数y=kx+b的图象是直线.可惜这些方法“要用到初三或高中的知识”.

　　二、解决问题的一个案例

　　一次函数图象为什么是一条直线？这是一个有趣的话题.在又一次教学这个内容的时候，笔者对课堂进行了一些新的设计.下面所述是课堂观察的情况.

　　教师出示问题：如图1，记录的是燃烧的香在不同时刻的高度，观察图片并填写下表.你有哪些发现？

　　

　　

　　学生观察图片发现，香开始是16cm，长度越来越短，平均每分钟缩短0.8cm，所以y与x之间的函数表达式是y=16-0.8x；观察上表的数字规律也可以得到y与x之间的函数表达式是y=-0.8x+16.将各个时刻香的顶端连起来，发现它们似乎在一条直线上，由此猜测y=-0.8x+16的图象可能是一条直线.出示函数关系式y=2x+1，学生列表、描点、连线后发现是一条直线.

　　见没有学生提出异议，笔者问：“举了两个特殊的例子就确认一次函数图象是一条直线了吗？”学生意识到需要证明.怎么证明？教室里出奇地安静.过了一分钟左右，一位男生站起来指着y=2x+1的图象，认为y每次增加的幅度是x的2倍加1，增加的幅度是一样的，所以它的图象应该是一条直线而不可能是折线段.其他学生似懂非懂，但直观感觉有道理.

　　一位女生似乎很激动，站起来说燃香的图片放在坐标系里看会更清晰一些.于是师生共同完成了下面的过程：以x轴表示香的燃烧时间，y轴表示香的长度，建立平面直角坐标系，图片中所示各时刻香的端点的坐标也就可以描出来了（如图2）.这位女生接着说图2中的△ABF和△BCG是全等的，所以∠1=∠2，因为∠2+∠3=90°，所以∠1+∠3=90°，于是∠ABC=180°，所以A、B、C三点共线.同理，其余的各点也都是共线的（教室里学生不约而同响起掌声）.有学生提出异议，刚才所选的点正好是间隔时间相同的，选择任意一个时刻的点，就不好证明全等了.经过讨论发现任意时刻也可以用类似的方法构造相应的全等三角形.

　　

　　三、思考与分析

　　学生从自己已有知识的角度解决了这个教师“没有想过”、“要用到初三或高中的知识”的问题，而且看得出来一节课中学生在解决这个问题时最投入，体验最深刻.那么“一次函数图象为什么是一条直线”这个问题的价值究竟在哪里？上面的这个案例给了我们什么启示？

　　（一）批判性思维需要鼓励更需要培养

　　批判性是一种怀疑的态度，即在亲自验明证实之前，不轻易相信某种真理，同时保持着对证据的渴求.敢于怀疑，保持开放的头脑是学生适应未来社会非常重要的素养.“批判性思维和问题解决能力”是被视为美国教育革新核心任务的“4Cs”的内容之一；刚发布的《中国学生发展核心素养》中也将“善于发现和提出问题，有解决问题的兴趣和热情”作为中国学生的核心素养.数学课堂学习中学生如果能够保持“半肯定”的态度，知道数学的本质是客观存在的，并不因为教师的解释才具有这样那样的性质，往往就能够获得原创性的观点和想法，加之坚持不懈的思考和解决问题，学生包括批判性思维在内的核心素养就能够获得提升.

　　学生个体的批判性思维需要维护、鼓励，对于广泛的学生而言批判性思维更需要培养.“一次函数图象为什么是一条直线”这个问题具有生长性.一次函数图象是学生遇到的第一个深入学习的具体函数图象，更广泛的学生是在教师的启发下提出问题“一次函数图象为什么是一条直线”，这一问题促进了学生的深度学习；当学生再学习反比例函数图象的时候，他可能就会问“反比例函数图象为什么是曲线而不是一系列的折线段”？在学习抛物线等二次曲线以及其他函数图象的时候，学生的视野就会更加开阔，并会主动的求证这些“为什么”的答案.伏尔泰说：要判断一个人，看他的回答不如看他提出的问题.数学课堂就是需要提供机会并培养学生不断提出“为什么”的能力，由此而迁移便成为学生的核心素养、人生智慧.