试论《杨辉算法》与南宋经济领域中的几个计量数学问题

       《杨辉算法》包括《乘除通变本末》《田亩比类乘除捷法》和《续古摘奇算法》3部书，此外还有《日用算法》残卷，它们是南宋实用算书的代表作。以往史学界对书中所蕴含的数学思想及其成就，经多方面的探讨，已取得了丰硕成果。与之相较，对于《杨辉算法》中的经济史价值，学界仍重视不够。故此，笔者曾撰有《杨辉算书与南宋社会经济诸关系初探》一文，①主要围绕山间坡地与田亩计量、土地买卖与田亩比类算题、从头子钱和不系省钱看南宋的杂税、南宋的稻谷产量与稻谷出米率、月息与南宋江浙地区的借贷关系、物价与南宋经济的发展等问题，初步揭示了杨辉算书与南宋诸多经济现象之间的密切关系。然而，随着进一步考索，我们发现《杨辉算法》中还有许多反映南宋经济领域现实状况的史料尚待继续深入研究，例如《杨辉算法》中的计量数学与经济史之间的关系问题，学界虽有关注，②但迄今未见系统研究，故本文仅就这个问题，拟在前人研究成果的基础上，尝试做进一步探索，不足之处请方家斧正。

       一、《田亩比类乘除捷法》与南宋的山田丈量

       南宋人地矛盾主要有两种表现形式：人多地少与人稀地广。前者主要分布在江浙、福建、四川平原等人口密度较高的少数经济发达区域，如婺州“浦江居山僻间，地狭人众，一寸之土垦辟无遗”；③福建南平“四望无平地，山田级级高”。④后者则主要分布在湖北、广南东西两路等地，如南宋时“湖北地广人稀，耕种灭裂，种而不莳”；⑤又“广南两路，自潮州而南，居民鲜少，山荒甚多”，⑥等等。

       因杨辉系钱塘(今浙江杭州)人，长期生活在台州(今浙江临海)、苏州、钱塘等地，对这一带地区的人地矛盾深有感触。由于耕地与赋税关系密切，且是宋代最敏感和最复杂的民生问题之一，故各层士人关注颇多。我们知道，丈量田亩是政府征收赋税的基础。从这个角度看，杨辉著《田亩比类乘除捷法》关乎国计民生，意义非同寻常。为了方便丈量，宋代的田亩以“直田”为常态，至于“直田”的形状，近似“井田”。如图1所示。

      

       图1 敦煌莫高窟61窟宋代壁画中的“耕作图”

       这是一幅反映宋代耕地、收割和打场景象的“耕作图”，见于敦煌莫高窟61窟宋代壁画中，图中所示农田形状即“直田”。然而，南宋田亩的情形相当复杂，如宣和元年(1119)，北宋统治者有“浙西逃田、天荒、草田、葑茭荡、湖泺、退滩等地，皆计籍召佃立租，以供应奉”之令。⑦至于这些田亩的形状是个什么样子，史载不详，故无法确知。

       宋代山区的农业开发应是当时最活跃的经济领域，也是缓解人口压力的重要出路之一。大量人口向山区转移，必然会出现“深山穷谷，人迹所不到，往往有民居”的情况。⑧由于山区自然地理的限制，人们开荒只能因山而宜，于是梯田这种新的田亩形式应运而生。漆侠《宋代经济史》及韩茂莉《宋代农业地理》特别讲到福建之外的东南丘陵山地，如徽州、台州、严州及明州等地，梯田已经非常普遍了。据陈耆卿统计，台州田亩有田(指水田)、地和山三种类型，其中田有2628283亩，地有948222亩，山有1753538亩，山与地的和比田多。⑨明州山区居民“从山巅直到水湄，‘累石堑土’，将所有坡地都建为梯田”，⑩反映了梯田使东南丘陵山地生态环境的变化十分显著。在这里，我们不拟讨论梯田对东南丘陵山地生态环境所造成的严重后果，因为在当时特定历史条件下，对于广大山居民众来说，如何生存和繁衍才是头等重要的事情。当然，通过“累石堑土”开出来的山田，田面大小不一，且形状亦各不相同，有些小的山田甚至“指十数级不能为一亩”，(11)然其耕种的劳动强度却很大，如皖南山区有“凿山而田，高耕入云者，十半其力”之说。(12)可惜，载有福建、浙江等山田面积与形状的宋代《鱼鳞图册》实物，今已不存。不过，由明代传世的《鱼鳞图册》知，徽州梯田“层累而上”，山田单位面积小，土地清丈不易。故此，程大位在《算法统宗》卷3中绘制有“新制丈量步车图”，(13)以解决各种几何田亩的清丈问题。经过汇总，程大位共给出了22种几何田亩的计算问题，即方田、直田、圆田、覆月田、弧矢田、圭形田、三角田、梭形田、斜圭田、梯形田、斜形田、眉形田、牛角田、榄形田、三广田、勾股田、四不等形田、五不等田、倒顺二圭田、三圭形田、六角形图田和八角形图田等。有学者认为，上述几何田亩的算法，是程大位“总结了徽州土地丈量的经验”。(14)例如，《鱼鳞图册》所载徽州梯田之1号田亩仅有5分5厘多，却被分割为12级地块，而另1号田亩仅仅才2分2厘，则被分割为15级地块。(15)恰如漆侠所言，这是“在山石的罅隙中耕锄”。(16)既然如此，那么我们就可以说，杨辉《田亩比类乘除捷法》同样是总结了台州、明州等地土地丈量的实际经验。其讲的虽是数学问题，但折射出来的却是南宋最为迫切的民生问题，即如何解决山地居民的生计问题。在这个历史过程中，自然界不得不为之付出巨大的代价。

       诚如宋人所言，山地田亩的产量一般都不高，严州山地田亩“苗稼疏薄”，所收常“不足食”。(17)然而，对于宋代山地的粮食产量，我们应以历史和辩证的眼光来看待。韩茂莉指出，东南丘陵山区的开发有两点值得注意：第一，“在山区的农业开发过程中，人们首先利用的土地一般是自然条件最好的山间盆地，然后逐渐向山麓地带推进，最后延伸到条件较差的坡地”。(18)吕祖谦曾针对严州的山田与水田的分布状况，作出“山居其八，田居其二”的估算，(19)也就是说，水田与山地(指旱地)的比例为2∶8。当然，在这“居八”的份额里，山间盆地和山麓硗确之地的产量是有高低差异的。第二，从“烧畲”到“细种”，耕作技术发生了变化。考察宋代明州、严州、处州、温州和歙州等人口增长率，其中人口增长率超过100％的州有80％以上处于丘陵山区，所以“相对平原地区，丘陵山区呈现出人口高值增长的趋势”。(20)可是，在“一寸之土，垦辟无遗”的特定背景下，(21)想要山地养活更多的居民，惟有改进耕作技术一途。因此，陈著在《嵊县劝农文》中鼓励人们“细种为生”，(22)变粗放为细作。此时，如何对丘陵山地田亩的产量进行科学评估，就显得愈来愈重要了。杨辉根据东南丘陵山地的不同形状，一共抽象和提炼出24种几何田亩(即田亩模型)，成为田主赋税的基本量纲。具体内容见表1。