一、关于数学概念及其地位作用 数学概念是反映客观事物在数量关系和空间形式方面的本质属性的思维形式，是人们通过实践，从数学所研究的事物对象的许多属性中，抽象出其本质属性概括而成的. 数学教学中就是通过广泛使用概念这种思维形式来解释各种数学对象的本质特征，从而使人类凭借数学概念，从数量关系与空间形式的角度来全面认识客观事物，深入了解事物的内部联系.数学概念学习是数学学习的基础，脱离开数学概念便无法进行数学思维.数学概念是进行数学推理和证明的基础和依据.数学中的推理和证明实质上由一连串的概念、判断和原理组成，而数学中的原理又都是由一些概念构成的. 二、关于数学概念的结构化主张 近年来，章建跃等学者提出不少有关数学概念教学的主张，要把注重大量操练习题转变到“花大气力进行概念教学”，从静态的识记走向“动态的建构”，从单纯的概念教学走向“结构化的概念教学”，从单一概念教学走向“大概念教学”，从不论概念的主次到重视“核心概念教学”.事实上，这是以结构化主张，即用联系性、整体性和发展性观点看待数学概念的教学设计.由于概念在中学数学知识中的作用和地位，数学概念教学需要进行概念的结构化分析、理解和设计.它是我们认识数学、理解数学和教好数学的关键. 三、关于数学概念的结构化分析 系统论认为，结构是指系统内部各要素之间的相互联系和相互作用的一种形式，标志着人的认识已经从感性认识上升为理性认识.由于数学是一门结构性很强的学科，也可以这样说，数学概念反映了事物包括数量关系、空间形式在内的结构关系的本质属性.把数学对象与其关联对象放在一起分析，明确它在整个知识经验结构中的地位和表达，不仅有助于对数学对象自身的深入理解，更有助于认知结构的重新组织. 1.概念组成的逻辑结构.概念包括内涵和外延两个基本方面.概念的内涵是概念所反映的对象本质属性的总和，即概念所反映的对象的质的方面；概念的外延是概念所反映的对象的总和，即概念所包括的对象的数量，或所指对象的范围.每个概念都是这两个方面的统一：第一，对象或关系的集合，就是这个概念的外延；第二，这个集合中所有对象所固有的并且只有这个集合才具备的特征性质，就是这个概念的内涵.两个方面的统一结合，明确了概念外延所属的每一个对象必定具有概念的全部本质属性；反之，凡具有概念的本质属性的对象必定在其外延集合中，就确定了一个概念，并使不同概念之间界限分明，不容易混淆. 2.概念判断的逻辑方法.概念的逻辑系统包括概念的限制与概括.概念的限制与概括是明确概念之间关系的一种逻辑方法，其依据为内涵与外延的反变关系.概念的限制是通过增加概念的内涵，从而缩小概念的外延的逻辑方法.它是由外延较大的概念过渡到外延较小的概念的思维过程.概念的概括是通过减少概念的内涵，以扩大概念的外延的逻辑方法.它是由外延较小的概念过渡到外延较大的概念的思维过程.从某种意义上说，数学概念的逻辑系统，就是概念的限制和概括的反映.把握住概念的限制和概括，有利于认识数学概念的体系，有助于掌握概念之间的内在联系，便于更好地使概念系统化. 3.概念认知的逻辑关系.任何一个概念不是孤立存在的，它有着众多相关联的知识点，都存在于一定的体系之中，并与其他有关概念有着区别与联系.根据各个部分之间的关系，如同一关系、从属关系、矛盾关系、对立关系等逻辑关系，把各个部分联系起来，形成一个层次分明、类别清楚和联系紧密的概念结构体系，使得数学概念系统化和公理化.在体系下把握概念，即把概念放在指定的知识结构下来认知.数学概念系统是一个关联的系统.掌握了概念间的逻辑关系有助于加深理解概念，正确地使用概念，避免出现概念或判断上的逻辑错误. 4.概念发展的必然规律.随着事物的发展变化和人类实践的不断深入，概念的内涵和外延也会不断地发展变化.在研究概念的内涵和外延变化时，我们既要看到概念的确定性：在事物发展的一定阶段上，概念的内涵和外延是确定的；同时，又要看到概念的灵活性：随着客观事物的发展和变化，概念的内涵和外延也会相应地变化.只有把概念的确定性和灵活性辩证地统一起来，才能正确地把握概念，正确地认识客观事物. 5.概念理解的有力工具.学习概念，不只是知道概念的名称、记住概念的定义.还要用例子、表征和变式等多种方式来认识概念的意义和把握概念的本质属性.可以通过典型丰富的具体例证，对属性的分析、比较、综合概括共同本质特征得到概念的本质属性，用准确的数学语言描述概念，以正例为载体分析关键词的含义，以反例对概念进行辨析，用概念判断具体事例，用概念作判断的具体步骤，建立与相关概念的联系. 6.概念表现出的二重性.多位学者已经指出，许多抽象的数学概念从操作的角度看可以看成一个过程，从结构的角度看又可以看成一个结果.既表现为一种动态的算法、操作过程，又表现为一种静态的结构、对象，这就是数学概念的二重性.概念的获得有先后次序，即先过程后对象的认知顺序，并且概念的过程和对象这两个侧面有着紧密的依赖关系.形成一个概念，往往要经历从过程开始，然后转化为对象的认知过程.对部分学生来说，从一个过程性的概念到一个对象性的概念的过程可能是一个漫长而又艰巨的历程.当充分建成后都在数学活动中起着重要的作用.教师在这个过程中起着重要的角色.
