再论西南民族走廊地区的语言及其相关问题

      青年数学教师的专业成长始终离不开教育教学研究，开展数学教育教学研究的过程就是专业成长的过程.在开展教育教学研究、达成专业成长的过程中，阅读、反思与写作三者的作用毋庸置疑、无可替代.下面就分别从阅读、反思与写作三个方面，谈谈笔者对青年数学教师专业成长的理解与认识.

      一、阅读：教育智慧的源头活水

      苏联著名教育家马卡连柯说：“学生可以原谅老师的严厉、刻板，甚至吹毛求疵，但是不能原谅老师的不学无术.”《庄子·逍遥游》也有类似的记载：“水之积也不厚，则其负大舟也无力.”倘若教师的知识储备不足、视野不够，教学中必然捉襟见肘、漏洞百出，更谈不上游刃有余、使人昭昭了.教师要保持闻道在先，就必须坚持在阅读中学习.阅读理应成为教师的一种生存手段与方式[1].只有通过阅读才能不断丰富自己的专业知识结构，跟上教育发展的步伐，实现专业成长的目标.

      （一）在阅读中理解概念本质，把准教学方向

      大纲版教材和人教A版教材都对“向量”与“零向量”有这样的表述：“长度为0的向量叫作零向量”，“我们规定：零向量与任一向量平行”，“已知两个非零向量a，b，作=a，=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫作向量a与b的夹角”，“已知两个非零向量a，b，我们把数量|a||b|cosθ叫作a与b的数量积（或内积）……我们规定：零向量与任一向量的数量积为0”，“设a和b都是非零向量，则a⊥ba·b=0”……蹊跷的是，既然向量有方向，为何从不提及零向量的方向？两个非零向量有夹角，那么零向量与任一向量的夹角如何定义？规定零向量与任一向量平行且数量积为0的合理性体现在哪？既然规定零向量与任一向量平行，那么能规定零向量与任一向量垂直吗？这样的疑惑不只是笔者有，笔者曾查阅十来年的期刊，其中的一些观点截然相反.直到笔者读到人教A版教材副主编章建跃博士刊发在《中小学数学（高中版）》2010年第9期上的《把精力集中在核心知识的研究上》一文：

      “在向量代数中，我们感兴趣的是向量的运算及其规律，而且首先是非零向量，因为它们有好的运算——加法，并由此延伸出数乘向量.为了使它的逆运算（即减法）完满、不留空白，必须引进零向量.这是零向量的核心意义，就像实数集中的0在运算中的地位一样.由于零向量的位置特殊，数学家们约定‘零向量的方向不确定’.这样，在处理问题时，可根据需要让零向量与某一向量平行或垂直.这是一种人为的、合乎习惯的并且方便于应用的规定……”

      读到章建跃博士关于零向量方向的这份“终审判决”，笔者才算认清了事实的真相，而且章博士还精准地定位了零向量的核心价值，让笔者清楚地理解了教材编写的思路.在查阅资料中笔者还发现，苏教版教材对零向量的处理方式与大纲版教材和人教A版教材相同，而人教B版教材、北师大版教材、湘教版教材及多种大学教材都直白地指出“零向量的方向不确定”“零向量与任一向量垂直”.但直到2012年，《中学数学杂志》2012年第1期的《与“零向量”有关的概念辨析及解题须知》与《数学通讯（下半月）》2012年第8期的《关于零向量的两个典型案例的思考与探究》两文都认为零向量的方向无法确定，不能说零向量与任一向量垂直.笔者亲历的对“零向量”这一概念的疑惑与争论持续了十年左右，笔者想说的是，阅读真的很重要，倘若我们放弃了阅读，可能数十年后的我们还在云遮雾绕中满眼迷茫.

      （二）在阅读中理顺知识由来，积累解题智慧

      来看一道模考试题：

      

      

      这是以“Dandelin双球”模型为背景进行命制的一道数学文化试题，颇具新意.笔者的多位同事也在一起商讨此题的求解办法，令人意外的是，多位教学经验丰富的同事都不清楚本题的来源.

      人教A版《数学》（选修2-1）教材第二章的引言部分中讲到，“用一垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线是一个圆……用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.”如图2所示，2000多年前，阿波罗尼斯就是采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线，“圆锥曲线”的名称由此而来.教材在“椭圆及其标准方程”部分的“探究与发现”栏目刊登了《为什么截口曲线是椭圆》一文，介绍了数学家Germinal Dandelin的方法：