数学美在中国的源头

       数学作为一门有组织的、独立的、理性的学科来说，形成于公元前六世纪至公元前三世纪的古希腊时代。但在更早期的一些古代文明国家，如中国、埃及、印度和巴比伦等，数学已有了开端和萌芽。我们称公元前六世纪以前的这个时期的数学为早期数学，而人类在早期数学中，就已经发现一种朦胧而神秘的数学美了，这是为考古学家和数学史家的大量发现和研究成果所证明了的。同样，人类关于数学美的观念，对于数学美的感受、追求、探索以及研究也早在遥远的古代就开始了。拙文①阐述了数学美的含义以及古希腊学者对于数学美的探索情况和有关研究成果，本文试图探寻数学美在中国的源头。

      

       一、太极八卦──中国象数学的美

       作为世界四大文明古国之一的中国，在古代对于数学美的感受与体验，一直可追溯到公元前十一世纪的殷末周初时期。中国远古知识的玄奥，莫过于“天神”伏羲氏所创造的太极八卦图的传说，该图说明中华民族的文明智慧是何等深邃、广博。它用宏博的哲理启迪人类的智慧，用数理的逻辑展示我国早期数学中的辩证的美和美的辩证。

       太极图的发明充分说明了我国古代先民对于圆形所呈现的美有着自己独特的认识。古希腊的毕达哥斯之所以认为“一切平面图形中最美的是圆形”②，其主要原因是由于圆有着无数条对称轴，显示出一种绝对的对称与和谐。中国的太极图表示出了阴与阳的运动性质，如图(1)中黑色的阴和白色的阳也呈现出一种对称，但这种对称不是以平直单调的直径作为对称轴，而是以一条S形曲线将大圆均分成两半。这一奇妙的分割产生许多意想不到的美的效果：它使得这个阴与阳之间的对称不是静止的，而是若即若离、似合非合，彼此渗透、相互补充，暗示着无休止的强有力的运动，并可通过这个具有动态美的几何图形对事物进行抽象，给出宇宙万物对立统一运动的形象模式，告诉我们宇宙美的一种简单美妙的组合方式，但又没有具体指出它们的确切涵义，只道出了一个“互补性之谜。”其内含寓意的深刻，令人赞叹不已。时至今日，太极图仍体现着古代东方智慧与现代西方科学之间的一种深刻的协调性。丹麦物理学家波尔(Bohr)在向亚原子世界进行探索时，发现用经典方式不能解释，因为光既是“粒子”又是“波”。“粒子”是物质，颗粒只限于很小的地方，而“波”却向四下传播，是连续性的。这种互不相容的方式为什么又能统一在光的身上？矛盾的现象令科学家困惑。波尔把粒子和波看成两幅图象，同时又看成是同一实体的互补。这种互补性概念已成为当今物理学家思考问题的重要组成部分。1937年，波尔访问中国时惊奇地发现，中国在2500年前就确立了与他相同的观点。回国后，丹麦政府因波尔的成就而让他自选一种花纹作盾形纹章，他选择了中国的太极图，并加上了“对立即互补”的铭文，这无疑更增添了太极图的神秘之美。

      

      

       图(1)

       “周易”经后世史学家考证，大约出于公元前十一世纪左右，这是一部具有很强的科学现实性和实用性的古典，是世界公认的第一部讨论排列组合的著作，可以说是中国象数学的起源。从有关材料来看，作为“周易”核心的八卦出现的时间更早。《易系辞传》云：“古者包羲氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地，……于是始作八卦，以通神明之德，以类万物之情”③。其主要含义是：伏羲氏观察天地自然的变化，从而创作八卦，以把握宇宙的规律。从数学角度看，八卦是世界上最早的二进制码，“是故《易》生太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”④这就是二进制，其中“极、仪、象、卦”和十进制中的“个、十、百、千”一样可以看作进位制的“权”。八卦仅用两种基本符号： 。其中乾、震、艮、坎因是奇数划而属阳，坤、离、兑、巽因是偶数划而属阴。它们分别对应自然界中最主要的八种事物：天、地、雷、山、火、水、泽和风。

       美学告诉我们：“广义地说，形式美是美的事物的外在形式所具有的相对独立的审美特性，因而形式美表现为具体的美的形式。狭义地说，形式美是指构成事物外形的物质材料的自然属性（色、形、声）以及它们的组合规律（如整齐、比例、对称、均衡、反复、节奏、多样的统一等）所呈现出来的审美特性”。⑤可见，人们在对美的形式的把握中，很讲究整齐与反复的美，对称与均衡的美，对比与比例的美。这是因为，整齐的排列能诱发人们产生端正、轩敞的感觉；反复的构形能唤起人们产生无限进取的意趣；对称的展现能增强人们的平静与稳定感；均衡的安排能引起人们产生协调而不失偏颇的感觉；对比的手法往往能造成一种对立而统一的美，使人们的辩识能力得以开启；比例的运用能调整人们对美的不同需求。八卦图如图(2)所示，我们从八卦的外形和它外形的组合方式可窥测到中国古代的象数学的美。整个八卦图呈现一个规则的正八边形，结构和谐对称、寓意深刻。以数字“9”作为中心点，向外作放射状依次定出八个卦，形成一个正八边形套，给人以齐整、对称、均衡等美感。