我国教育的改革和发展亟需教育科学研究的改革和发展。新兴学科、边缘学科的发现和发展为教育研究方法论的创新提供了极为广阔的背景和空间。本文试通过介绍非线性科学中的一个极其活跃和重要的分支——分形理论的基本观点，阐述分形理论对教育研究方法论的若干启示。 一、分形理论与教育中的分形 被誉为大自然的几何学的分形理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗特(B·B·Mandelbort)在《英国的海岸线有多长》的著名论文中首先提出的。自然界的绝大部分形体是不光滑和不规则的。正是这些形体和现象是分形理论的研究对象。分形理论认为，大自然是由分形构成的，规则形状只是数学上的抽象。分形理论拓展了洞察复杂现象的新视野，成为人们深入认识世界的一种新方法。 分形的最重要的原理是自相似性。它表征分形在通常的几何变换下具有不变性，即无论怎样变换观测的尺度，局部仍然保持整体的性质，也就是具有无标度性。海岸线就是这种具有自相似性的分形。在没有建筑物或其他东西作为参照物时，在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长的海岸线的两张照片，看上去会十会相似。这种自相似性也是一种跨越不同尺度的对称性。因此，一般地把其组成部分以某种方式与整体相似的形体称为分形。构成分形整体的相对独立部分称为生成元或分形元。自相似性的概念最初是指形态或结构的相似性，继而把信息、功能和时间上的自相似性也包含其中，称为广义分形。分形体系中的自相似性可以是完全相同，也可以是统计意义上的相似。标准的自相似分形是数学上的抽象，如科契(Koch)曲线、佩安塔(Peano)曲线等，这样的有规分形只是少数。绝大部分的分形是统计意义的无规分形。 普通存在的无规分形可分四类：一是自然分形，如云彩、岩石的断裂、布朗粒子运动的轨迹、物态凝聚等众多现象中的部分毫无例外地与整体相似。二是时间分形，如事物的螺旋和波浪式发展规律，母腹中新生婴儿的成长过程近似于人类的整个进化过程。三是社会分形，如《红楼梦》这一巨著作为社会分形元是我国封建社会末期整体的再现和缩影。四是思维分形，如“无产阶级者要最终解放自己，首先要解放全人类”，这是分形思想的体现。 新的维数观是分形的又一重要原理。分维，又称为分形维或分数维，用分数或带小数点的数表示。分维作为一种新方法，是对分形的定量表征，揭示的是一种复杂性之中的简单性。 可以说，分形不是线段、面积或体积，而介于这些线段、面积或体积之间的某种东西，分维是描述这些东西的工具。通常情况下，分维有关联维数、信息维数、相似维数等多种形式。 循着以上思路，我们不难发现教育中的广义分形是普遍存在的。 从宏观上看，世界各国的教育结构在一定程度上是自相似的，即高等教育、中等教育、初等教育，各占一定比例。各层次教育分布的密或疏，与该地区的发展程度呈正相关；对教育的投入，其占GDP的比例与该国的经济亦呈正相关，世界各国也是自相似的。从中观和微观上看，从儿童教育到成人教育、从普通教育到专业教育、从校内教育到校外教育，作为教育其基本是自相似的。从各类学科的结构、功能到信息、管理，从各门课程的基本要求到教学方法的一般规律都在不同程度上是自相似的。高等学校的校、院、系管理体系是一种分形结构，教育信息、情报网络也是一种分形结构。教学评价的方法和体系是教育分形的写照，“211工程”建设的由来、论证和运作，也无不反映出分形的思想。一本好的教材、一篇好的论文，往往它的第一章、第一节乃至第一句话，是整体的缩影和再现，即全书或全文的中心。而每一段的第一句往往是该段的中心句，大中心套小中心，大层次套小层次。这更是分形思维的体现……因此，我们可以说，在作为复杂社会现象的教育中，分形是到处存在的。运用分形理论的基本观点来研究教育，就为教育研究提供了新的视野、新的方法。 二、分形理论对教育研究的方法论启示 分形理论是从分形几何中的结构自相似概念开始发展的，在现代系统论、信息论和控制论的冲击之下，迅速由形态衍生到结构、功能、信息等方面，升华形成新的科学方法论——分形论。其崭新的自然观、时空观和运动观，给教育研究以多方面的启示。 （一）借鉴分形的自然观，教育研究应善于从有限中去认识无限 自相似性是分形理论的核心，也是分形的自然观。通常的理解就是局部的形态与整体的形态相似。按分形理论，自相似性可表述为：分形体内任何一个相对独立的部分，即分形元或生成元，在一定程度上都是整体的再现和缩影。曼特布罗特举的两个例子很有代表性：一个是立于两面镜子之间的无穷反射；在一部动画片中，大鱼吃小鱼，小鱼再吃更小的鱼……。自相似性是一种结构递归和无穷嵌套。这也就是说，人们可以通过认识部分来认识整体。但分形元只是构成整体的单位，与整体相似，并不简单地等同于整体，整体的复杂性远远大于分形元。同时，分形理论指出了分形元构成整体所遵循的原则和规律，如积和原理、和并原理、级差原理和匹配原理等，是对系统论的一个重要补充。
