论证这一题目，大致需要两个方面的工作：首先要论证一个适当的关于逻辑的观念，它肯定与当前流行的逻辑观念不同。其次，我们需要较为详细地讨论柏拉图有关理念和认识理念之方法的思想，以证明这些思想正符合这一适当的逻辑观念。 关于第一个方面，一些初步的讨论可参阅郝兆宽(2016)以及郝兆宽(2014)。在那里，主要的观点就是这样一个命题：逻辑是关于客观概念的理论。形式系统和推理原则是对客观概念之关系和性质进行研究得到的一些结果，亦是进一步探索的手段之一。它们不是逻辑的核心内容，更不可能是逻辑的全部。这个关于逻辑的观念不是我们偶然提出的，而是来自于弗雷格和哥德尔，事实上它也是西方哲学传统的观念之一。同时，这种逻辑的观念必然基于对客观概念世界之存在的信念，就像物理学必须基于对物理世界的信念一样。具有这种信念的哲学被称为概念实在论(conceptual realism)。本质上，这就是弗雷格和哥德尔的哲学立场。 本文的主要工作集中在第二个方面。作为预备，我们首先讨论数学概念在柏拉图理念论中的地位问题。柏拉图对同时代几何学的称扬和批评都反映出他对探索客观概念之方法的构想。这个方法被他称为“辩证法”。在第二节，我们讨论柏拉图辩证法的两个基本方面——收集与划分，但更集中于他为划分提出的一个基本原则：从中间切割(cut through the middle)。我们利用数学史的例子来论证这是发现客观概念的强有力的方法，它既不是纯粹的演绎，也不是经验归纳。这种方法是作为概念论的逻辑的核心方法之一。为了强化这一论点，我们在第三节借助两位现代逻辑学家的观察，进一步论证柏拉图的划分方法在当代数理逻辑中具有强大的活力。也就是说，认为逻辑始于柏拉图不但符合弗雷格和哥德尔关于逻辑的观念，也符合今天丰富多彩的逻辑研究和发展的实践。 一、数学概念与理念论 通常都认为柏拉图是借助对数学概念的思考达到理念论的。关于数学概念的最重要的讨论是《理想国》第六卷中的“线喻”： (实在)它就像一条被分成不相等的两段的线。然后，把每一段——即可感部分和可知部分——按与整条线相同的比例再次划分。(Plato，1997：1130-1131)① 也就是说，柏拉图首先将实在划分为两个部分，可知的和可感的。后者是感官触及的世界，前者则是能被理性之眼看到的世界。翻译为可知世界并不完全准确，因为在当代语境中“知”包括感觉经验的知，而柏拉图这里的可知世界是只有理性能把握的。只能为理性把握而不能依靠感觉经验的事物是什么呢?只能是“普遍者”，即客观存在的普遍事物。由此而言，柏拉图的两个世界正对应于哥德尔所说的实在的两个方面：概念与对象(客体)。(参见王浩，2009：386) 柏拉图使用可知和可感来对实在做划分，是由于他的哲学的一个重要目标是探究什么是真正的知识。此处他利用了可知世界的特征之一：可以为理性所把握。但这显然不是它的唯一特征。除了可知，它还是实在的、独立实存的，所以将诸理念视为人类理性把握的对象并不会让它们成为理性的产物，相反，诸理念是人类理性运思的前提。(参见策勒，2020，第3卷：176-178) 接下来一个问题就是可感世界的事物与可知世界的事物又有怎样的联系呢?要回答这个问题，最好先来看看柏拉图的进一步划分： 就相对的清晰与模糊而言，可感部分中的一小段由影子构成。而这里所说的影子指的是：首先是阴影，其次是水中以及所有致密、光滑且闪亮材料中的倒影……在可感部分的另一个子部分中，是这些影子的原型，即我们周围的动物、所有的植物以及所有人造物之类。(Plato，1997：1131) 可感世界划分为两个部分：影子和它们的原型。我们不妨理解为是物理对象和物理对象在光线下或镜面中的影子。加上前面一句话中的“等比例”划分，这就暗示可知世界与可感世界之间的关系就是物体与其影子的关系。这是一个比喻，而且有些朴素和模糊。但在我们看来，柏拉图用这个比喻说出了理念的三个特征。 首先就是恒常性，物体是恒常的，影子稍纵即逝。理念是恒常的，相比之下，具体事物是稍纵即逝的。其次是多与一的关系。物体是一，影子是多。同样地，理念是一，可感事物是多。多与一的关系是柏拉图哲学乃至希腊哲学的另一个主题。这个问题在《巴门尼德》中讨论最多，一与多被视为一对矛盾，甚至会产生类似第三人悖论这样的问题。我们认为依然可以用普遍性来解释一，柏拉图自己也曾说，理念是多上之一。将众多具体事物归于一个理念之下就是看出它们普遍具有的那些性质。第三，这个比喻还解释了真实性问题。物体是真实的，影子就不那么真实。类似地，理念是真实的，而可感事物就不那么真实。 你是否愿意说，就真实和不真实而言，这种划分的比例是这样的：如同意见的对象与知识的对象之比例，也类似于模仿与其所模仿之物之间的比例?(Plato，1997：1131) 真实这个概念在柏拉图那里本质上就是用来刻画恒常性和普遍性的，越是普遍的、永恒的事物就越真实，反之，越是具体、越是流变的事物就越不真实。所以，他的真实概念并非今天惯常的非真即假的二值逻辑的概念，存在之物的真实性是有程度之分的。 有了这些铺垫我们就可以讨论数学对象与理念的关系问题了。自然地，与可感世界一样，可知世界同样可以“等比例”划分为两个子部分：
