1 引言 自己“独知”(exclusive knowing)即仅为自己所知，自己的秘密(secret)则是自己知道自己独知的信息。秘密信息包含于独知信息之中，知道某信息为自己独知时，则该信息就成为了自己的秘密。在社会生活中，“个人隐私”、“商业机密”等都可以看作是特定个体或群体的秘密信息，对独知逻辑与秘密逻辑的研究，有助于我们把握与理解“隐私”、“机密”等在交流互动中呈现出的逻辑规律。国内外学者对涉及“秘密”这一概念的逻辑研究主要分为两类。一类是将(类似于)“秘密”的概念作为逻辑系统的原子命题(atoms)或概念展开的研究，另一类是将“秘密”作为逻辑语言中的模态算子进行的研究。 在“秘密”作为原子命题或概念使用的研究中，主要有如下这些工作。比如H.van Ditmarsch等讨论了关于“流言”(gossip)的逻辑研究，具体分析讨论了流言或秘密等原子命题在不同的传播协议(protocol)下所具有的逻辑特征。[14]S.M.More和P.Naumov则是对作为原子命题的秘密在不同的网络结构中的独立性问题做了探讨。[9，10]J.Fan等从认知逻辑的角度，分析讨论了不同的认知情境，尤其是关于认知模糊性的讨论也涉及到了“知”(knowledge)与“未知”(ignorance)间的相互关系，以及由此推导出的主体间的认知互动问题，但并未确切地谈论具有秘密特征的“知识”所呈现的逻辑特性。[7]李延军则是从动态逻辑(Dynamic Logic)的角度讨论了一种相对于公开宣告而言的“秘密宣告”，将秘密看做一种宣告动作的特点，着重讨论的是在秘密宣告下群体信念状态的变化问题等。[17] 对于“秘密”作为模态算子的逻辑研究正逐渐受到关注。张玉志在其博士论文[19]中给出了能表达“秘密信息”的一种特殊的模态算子(S)，但这一算子在逻辑形式上是不能叠加的，因而不能谈论“某人的秘密”这一个命题是否是他人的秘密的问题，并且由于这一秘密算子S只是定义在认知逻辑(Epistemic Logic)[5]中的“知道算子K”上的，因而未能展示出“秘密”所特有的(不为知识或信念所具有的)逻辑特性。进一步，熊作军与张玉志从模态逻辑(Modal Logic)的语义角度分析探讨了秘密与知识(knowledge)、信念(belief)之间所具有的相互关系。[18]如秘密具有认知逻辑中定义的“真值性”(truth)与“正自省性”(positive introspection)，但不具有“负自省性”(negative introspection)，并其给出了关于“秘密逻辑”的公理化系统的猜想。熊作军和张玉志介绍了认知逻辑视域下秘密知识(secret knowledge)的逻辑分析，其将秘密知识解释为一种“只为自己所知，且自己知道别人不知”的信息。[18]比如，称命题φ为a的秘密，即指“a知道φ，且a知道其他主体都不知道φ”。①Z.Xiong和T.Ågotnes则进一步给出了极小秘密知识逻辑系统ICS与自反的秘密知识逻辑系统ICST的完全性。[16]A.Aldini等则使用“知识(K)、信念(B)以及意向(I)”等模态算子从“主体a有意对主体b掩藏信息φ”(S[,a，b]φ)的角度讨论了“保密推理”，通过分别给出这三类模态算子的关系语义解释构建了其逻辑模型，讨论了相关推理规则与公理，但这一语言主要围绕“意向”来定义秘密，且缺乏公理系统完全性的证明。[2] 本文基于对张玉志[19]、熊作军和张玉志[18]以及Z.Xiong和T.Ågotnes[16]中秘密逻辑的讨论，在第2节进一步审视秘密模态的语义，指出秘密信息中不同层级的理解，由此提炼出“独知”模态，以便更细致地刻画“秘密”。据此，文章将给出“独知逻辑”(Exclusive Knowing Logic)的模型与公理系统S5O，揭示其在“无穷主体集”下的非紧致性，并给出了其在无穷证明系统上的强完全性。为了探求纯秘密逻辑系统的扩展问题，在第3节对Z.Xiong和T.Ågotnes[16]中介绍的单主体视角下纯秘密逻辑(不含知道算子)系统进行了扩展，证明ICST4的完全性问题。最后在第4节进行了总结，对独知逻辑与秘密逻辑的相关扩展进行了讨论。 2 “独知”的逻辑系统 [16，18，19]中的秘密逻辑分析的带有秘密信息的命题都是不含主体信息，或者说主体信息是认知主体本身的命题。如“小王的银行卡密码是1234”、“百元人民币上印有一只猫”都是小王的秘密等。考虑这样一个情形(假设小张知道小王只有一张银行卡)： 例1(银行卡密码).小王在自动取款机上设置银行卡密码，只有小张站在小王身后，他看见了小王设置的密码为1234，但小王并不知道小张看见了自己设置的密码。 在已有的秘密逻辑中，我们可以从上述例子中得到“小王的银行卡密码是1234”既不是小张的秘密(因为小王知道这个命题)，也不是小王的秘密(因为小张知道这个命题)。但“小张知道小王的银行卡密码是1234”是小张的秘密，因为这一命题并不为他人所知(小王并不知道小张知道自己的银行卡密码是1234，且没有其他人知道)。因而，虽然不能在“原子命题”层面上说“小王的银行卡密码是1234”是小张的秘密，但是可以在“认知命题”层面上说“小张知道小王的银行卡密码是1234”是小张的秘密。这一点也很好地反映了“小张知道p”是小张的秘密，并不意味着“p是小张的秘密”为真，即S[,a]K[,a]φ→S[,a]φ不是有效式，但纯秘密逻辑系统并不能区分“命题本身的秘密”与“关于命题认知的秘密”。 重新审视“秘密信息”模态的语义定义，在自然语言上“主体a秘密地知道命题φ”至少有两种理解： 1.S[,a]φ：命题φ为主体a所知，且他知道其他人都不知道命题φ(即a独知φ且知道自己独知φ)； 2.S[,a]K[,a]φ：命题K[,a]φ为主体a所知，且他知道其他人都不知道K[,a]φ(但其他人可能知道命题φ)。而[16，18]中将“主体a秘密地知道命题φ”定义为
