类周期函数的本质解构与思想渗透　　

　　一、试题呈现

　　在佛山市2024—2025学年高一上学期教学质量检测的数学试题中，第14题聚焦于周期函数相关知识，蕴含着丰富的数学思想方法，是一道具有显著的教学指导价值与学术研究意义的题目.

　　

　　评注 本题主要考查函数的解析式、函数图象、解不等式，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查分类讨论思想、数形结合思想，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算.该试题设计的分层问题（求值→解不等式）既检验学生对基础知识的掌握，又能引导其高阶思维发展，体现了“基础性与创新性并重”的命题理念，符合新课标对数学学科核心素养的要求.因此，该题是一道值得研究的好题.

　　二、试题解析

　　（一）数形结合法

　　

　　

　　评注 第一问基于递推关系确定的值，第二问通过递推规则解析图象平移规律，完成函数图形的几何重构，并依托第一问的端点计算结果，结合函数图象变换特点，直观地来解决满足不等式条件下自变量的取值范围问题，凸显数形结合思想的方法论价值.

　　（二）不完全归纳法

　　已知函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当x∈[0，1）时f（x）=3[.x]，则当x∈[-1，0）时f（x）=2[.-1]·3[.x+1]；当x∈[1，2）时，f（x）=2[.1]·3[.x-1]；当x∈[2，3）时f（x）=2[.2]·3[.x-2]；当x∈[3，4）时，f（x）=2[.3]·3[.x-3]……归纳可知，当x∈[n，n+1），x∈Z时，f（x）=2[.n]·3[.x-n].

　　

　　评注 利用递推函数关系式归纳出函数f（x）在区间[n，n+1）（n∈Z）内的函数解析式，并令n=-1，0，1来确定每个区间[n，n+1）中x的范围，再用集合运算来求解满足不等式的自变量取值范围.

　　三、回归教材

　　（人教A版数学必修第一册第214页习题5.4第18题）已知函数y=f（x）（x∈R）是周期函数，周期为2，其部分图象如图2所示.

　　

　　（1）写出y=f（x）的解析式；

　　（2）画出函数y=f（x+1）的图象.

　　评注 教材原题（画图、写解析式）聚焦周期函数的基本性质，重视基本概念，而统考试题是在周期函数的基础上综合了指数函数、不等式多个知识点，引入递推关系f（x+1）=2f（x），将“严格周期性”扩展为“类周期性”，保留递推结构但增加增长因子，提升了思维深度.其改编路径清晰地体现了“源于教材、高于教材”的命题原则，既扎根于基础知识，又通过创新设计考查了学生的数学素养与应变能力.

　　四、链接高考

　　（2019年全国Ⅱ卷理第12题）设函数f（x）在定义域R上满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=x（x-1）.若对任意x∈（-∞，m]，都有，则m的取值范围是（

　　）.

　　

　　解析 x∈R，都有f（x+1）=2f（x），即函数f（x）图象每向右平移1个单位，函数值变为原来的2倍；每向左平移1个单位，函数值变为原来的1/2倍[1]，函数f（x）的图象如图3所示.