基于结构化思维的三角函数概念教学实践研究

　　数学概念是数学学习的基础，是学生认识数学、理解数学和应用数学的关键.《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，要聚焦学科本质，实施教学内容的结构化布局，以学科为引领，融合情境因素，有效促进核心素养的达成[1].在新课程改革的背景下，课程内容结构化已成为重点关注的方向，因此理解性地获得良好的数学认知结构是学生学习数学的基础和关键.

　　一、概念教学须从碎片化走向结构化的理性思考

　　（一）内在知识的关联碎片化

　　数学概念的内涵与外延均展现出高度的抽象性与关联性，这些知识元素之间紧密相连，形成错综复杂且逻辑严密的知识网络.若教师依据教材内容分课时开展教学活动，则会将整体知识分成若干零散知识，割裂了数学知识的内在结构，让数学知识以点状、相互独立的样态存在于学生头脑中，缺乏“点”与“点”之间的关联，学生无法形成对知识的整体认知.

　　（二）方法过程的设计碎片化

　　掌握数学方法是数学概念教学的重要目标之一，良好的方法结构有助于知识的拓展和迁移.有些联系密切的单元在布局上并不连续，导致教师在进行教学设计时缺乏对学生学习过程的整体设计，从而割裂了方法结构，忽视了内在关联性，导致学生难以对方法结构形成一个完整观念，无法迁移到不同的学习情境中.

　　（三）评价任务的实施碎片化

　　学习评价是对学生学习效果进行的价值判断，学生对概念的理解、掌握及运用均需经历一个较长且复杂的过程.在教学过程中，教师应当持续关注学生在学习过程中的思维发展，深入了解其对知识的领悟程度及分析、解决问题的能力.如果将注意力过度集中于知识与技能的评估上，采用过于简化的评价方式，那么会极大地限制学生对概念的深入理解与有效转化.

　　针对上述情况，笔者认为当前高中数学概念教学必须从碎片化走向结构化，站在学科系统性的高度，从不同层次去理解概念、感悟本质，通过开展具有系统性、逻辑性的活动帮助学生建立结构化思维，实现能力和核心素养的发展.

　　二、数学本源下结构化思维的内涵与路径

　　结构化思维是指以探索事物结构为目的，积极建构事物组成部分之间的关联，以得出事物发展一般规律的一种思维方法[2].结构化思维下的数学概念教学是按照一定的教学步骤和教学目标，通过组织化、系统化的教学过程，以学生现有的数学知识体系为基础，对新的知识加以改造融合，形成新知识体系的学习方式和方法[3].这一过程通过实现内容材料结构化、教学进阶结构化以及评价输出结构化，引领学生经历理解、重构与呈现的思维演变，促使思维模式由零散向结构化转型（图1）.

　　

　　内容材料结构化不仅要求学生理解各个知识与概念的含义，还要求他们明晰不同知识之间或同一知识在不同单元之间的联系，在零散的知识点之间建立联系并形成知识结构，在理解概念的过程中让隐性思维显性化；教学进阶结构化，侧重于引导学生参与学习活动，聚焦于已有的数学基础知识、数学活动经验及数学认知水平，旨在促使学生将新获取的知识融入已有的认知结构中，在重构概念的过程中使显性思维结构化；评价输出结构化是根据学生序列化学习情况从整体上对学生的学习进行评价，持续关注学生的思维动态和深入理解知识深度的变化，并评估其分析解决问题的能力，在呈现概念本质的过程中使结构化思维形象化[4].

　　三、基于结构化思维的概念教学实践

　　三角函数是数学中重要的数学模型之一，是高中阶段系统学习的最后一类基本初等函数，然而这块内容的分布具有碎片化的特点，学生较难形成整体化的认知.因此，本文以人教A版必修第一册第五章《三角函数》为例，对基于结构化思维的高中数学概念教学进行探索.

　　（一）整理知识关联线实现概念内容结构化

　　知识关联线是以教科书为基础，通过梳理分析、重新组合以及整合教学过程中具有明确内在关联性的内容，构建出一个更为完整且连贯的教学单元，将原本分散于不同区域的知识点进行统整，为学生构建一个条理清晰、层次分明且系统化的整体认知架构.《三角函数》一章包含任意角、弧度制、三角函数的概念、诱导公式、三角函数的图象与性质、三角恒等变换、三角函数的应用等诸多内容.根据本章内容的特点，将三角函数大单元划分为“建立三角函数概念”“研究三角函数性质”“探究三角函数应用”三个子单元，实现概念内容结构化（图2）.第一子单元“建立三角函数概念”包含“5.1任意角和弧度制”和“5.2三角函数的概念”，此子单元以周期现象为核心，通过深入剖析，使学生全面理解单位圆的重要性.第二子单元“研究三角函数性质”包含“5.3诱导公式”“5.4三角函数的图象与性质”“5.5三角恒等变换”，此子单元体现了圆的旋转对称性，无论从几何角度还是代数角度都能看到它们是统一的整体.第三子单元“探究三角函数应用”包含“5.6函数y=Asin（ωx+φ）”“5.7三角函数的应用”，此子单元通过数学建模得到三角函数模型y=Asin（ωx+φ），深入研究其性质并解决实际问题.三个子单元相互联系，层层递进，构建起一个逻辑清晰的知识关联线.