沈有鼎(1908-1989)，字公武，祖籍江苏省嘉定县(现为上海市嘉定区)，1908年11月生于上海市。在数理逻辑引入我国和发展早期阶段，数理逻辑学家非常少，沈有鼎作为其中之一，深入研究了经典命题逻辑以及其他非经典逻辑如直觉主义命题逻辑、相干命题逻辑和模态命题逻辑。沈有鼎是金岳霖的高足，早年就已成为蜚声中外的逻辑学家和哲学家。1926年，他协助金岳霖在清华大学创建了哲学系。1929年，他作为清华大学第一届学生毕业，同年赴哈佛大学，在谢孚(H.Sheffer)和怀特海(A.Whitehead)的指导下，学习和研究现代逻辑，并在1931年获得硕士学位。此后，他赴德国海德堡大学学习和研究——根据靳希平的研究，这是“真正有幸聆听过胡塞尔的言传，后来又用胡塞尔的思想做哲学研究工作”①的中国学者。1935年起，沈有鼎担任清华大学哲学系教授。②1955年，中国科学院哲学研究所成立，他又协助金岳霖等人创建了逻辑组(1977年，中国社会科学院哲学研究所成立，逻辑组更名为逻辑学研究室)。沈有鼎不仅为我国的哲学和逻辑学的学科发展作出了杰出贡献，而且在方法论方面留下了丰富遗产。 在数理逻辑方面，沈有鼎作为我国较早从事这一领域研究的逻辑学家，他所发表的论文主要有5篇：“On Finite Systems” “Paradox of the Class of All Grounded Classes” “Two Semantical Paradoxes”和《初基演算》《“纯逻辑演算”中不依赖量词的部分》。另外，他还在20世纪60年代初期完成“A Calculus of Individuals and Truth-values”的初稿。1981年，这篇稿件的部分内容以《“纯逻辑演算”中不依赖量词的部分》为题发表。贯穿沈有鼎这些工作的主题，是“判定问题”这一数理逻辑的核心问题。③本文梳理沈有鼎从“有穷系统”一直到“纯逻辑演算”的历史源流，考察其早期未完成论文的主题与这个主题同其后来论著的思想联系，以及对张清宇等所产生的影响。 一、“记号相对性” 1989年，历史学家杨向奎发表《论沈有鼎》一文，高度评价了沈有鼎的学术成就，认为其“博学与机锋，谈经夺席，当代仅有”。杨向奎的文章主要谈论了沈有鼎对墨经逻辑学的贡献。此外，他还回忆起自己上学时的一件事情：“在30年代初(大概是1934年)，金岳霖先生在北大哲学系兼课，有一次他说，‘我国的沈有鼎发明了一种新的逻辑体系’，这使听课的学生大惊！什么样的‘逻辑体系’？金先生没有说，后来也没有看到他这方面的论文，但我想金先生不是空话。”④根据目前掌握的文献，金岳霖所说的“新的逻辑体系”，应该是沈有鼎在《清华学报》1935年第2期发表的英文论文“On Finite Systems”(《论有穷系统》)⑤中提出的逻辑体系。但是，他在文末的“注记”中却说：“本文未完。笔者发现自己不能继续讨论下去。”⑥那么，以沈有鼎的“博学与机锋”都“不能继续讨论下去”的逻辑体系是什么样的体系？其思想源于何处？他不能继续讨论的原因又可能在哪里？ 《论有穷系统》一文写成于沈有鼎在哈佛大学留学期间。在该文第二段，沈有鼎说“本文内容是谢孚《记号相对性》一文的续篇”，并在文末“附注”中说“文中讲到的《记号相对性》是谢孚教授以前未发表的文章”。⑦《记号相对性》指的是谢孚完成于1921年的《记号相对性的一般理论》，⑧这是一篇61页的未刊稿(前34页由打字机打印，后27页是绘制的图表)，现藏于哈佛大学本部的魏德纳图书馆。除了一些摘要外，谢孚一生只在1913年发表过一篇论文，⑨这篇论文已成为数理逻辑发展史上的主要论文之一。要理解谢孚的逻辑研究和哲学研究，这篇文稿很关键——其中有小部分内容在1927年的《第六届世界哲学大会文集》中发表过，题目为《记号相对性》，⑩篇幅为4页。在职业生涯早期，谢孚构想了一个雄心勃勃的计划(该文稿只是其中一小部分)，但是没有成功实施。1915年，谢孚发表了一个只有一句话的摘要，即“通过各种‘关系坐标的变换’和相应的系统等价性定义，谢孚博士为包含有穷多个元素的演绎系统建立了一个一般性的公理理论”。(11)根据厄克特前些年的研究工作，对于理解那篇文稿背后的潜在动机来说，这个摘要至关重要：标题《演绎系统和公理理论：I.有穷情形》(Deductive Systems and Postulate Theory：I.Finite Case)清楚地表明，对有穷的关系系统的研究，只是谢孚迈向所希望的一般演绎系统理论的第一步。(12)根据这个摘要，谢孚的文稿是在有穷关系结构这一特殊情形中来实现他的公理化计划，代表了谢孚对有穷系统的一般公理化所做的尝试。 有穷关系结构的基本思想可简述为：有穷关系结构是形如〈K，R〉的结构，其中K是包含n个元素的有穷集合，R是定义在K上的m元关系。令F是关系结构〈K，R〉的族。按照谢孚的意见，假定K是标准的n元集合｛1，…，n｝。令α是K上的置换，对于K中的x，x在α下的像记为xα；由以下定义：
置换α被提升到F上，也就是说，α以一种自然的方式在族F上起作用。令F是如下这样一个结构族，它对于K=｛1，…，n｝上所有置换的对称群Sym(K)是封闭的，也就是说，如果α是K的一个置换并且〈K，R〉在F中，那么〈K，R〉α也在F中。如果这样的族只包含一个结构〈K，R〉，谢孚就把它定义为是“各向同性的”(isotropic)，这个概念是范畴性(categoricity)这个标准概念的强化。结构〈K，R〉组成的族是“范畴的”，意思就是说，这个族中的所有结构都是同构的。谢孚得到的结果都与有穷结构有关，尽管他希望得到一个一般性的理论。这些结果阐明了对元素结构“格栅”(graf)成立的定理：取一个有序元素的二维网格并排列这些元素，在格栅的组合重排下，看看哪些“形式”和“关系”相对于基数和其他高阶属性仍然是正确的。
