概率命题逻辑及其动态化

　　1 引言

　　经典命题逻辑从质的角度研究命题的真与假，而概率逻辑的发展为经典命题逻辑提供了一种定量分析的方法，以探讨主体对命题的信念程度。在不确定推理的相关研究中，概率逻辑也受到了广泛的关注与应用。

　　在概率逻辑的发展中，前苏联数学家柯尔莫格洛夫(Kolmogorov)[14]以集合论的方法提出了一个类似公理化系统的概率体系。然而，这个体系很难表达一些复杂的概率公式，比如概率的比较公式和概率公式的嵌套等。为此，费金(Fagin)、哈尔彭(Halpern)和莫吉多(Megiddo)[9]完善了柯尔莫哥洛夫提出的概率体系，在可能世界语义中将概率视为一种模态算子，利用若干线性不等式公理构造了一个表达力更为丰富的概率命题逻辑(Probabilistic Propositional Logic，PPL)。随后，概率命题逻辑在这一研究进路下，逐渐发展并形成了两类刻画概率的逻辑模型——概率空间模型(Probability space model)和离散概率模型(Discrete probability model)。[7]概率空间模型取可能世界集的某个子集构造一个概率空间，概率函数的论域是概率空间中的σ代数；离散概率模型把世界集限制在有穷的范围内，把概率函数定义在整个世界集上。离散概率模型可以看作是概率空间模型的一个特例，其中的σ代数是世界集的幂集。离散概率模型的优势在于其简洁性，但作为概率函数，特别是主观概率函数，主体应该为可能世界集的子集赋予概率而非为某个具体的可能世界赋予概率。基于此，我们尝试对离散概率模型进行优化，提出一个更符合直观的PPL模型，并讨论其在模型论方面的相关性质。

　　自上世纪九十年代以来，概率命题逻辑逐渐被应用在认知逻辑的研究中。费金与哈尔彭[8]在经典认知逻辑中引入概率算子，构造了第一个概率认知逻辑(Probabilistic epistemic logic，PEL)。包括库伊(Kooi)[15]和范丙申(van Benthem)[2]等人在内的逻辑学家们在费金等人工作的基础上加入公开宣告算子，逐渐形成了动态概率认知逻辑PDEL的研究进路。

　　在带有公开宣告的概率认知逻辑中，更新模型中概率函数的定义与贝叶斯更新有很大的相似之处，而条件概率公式的真假也是依赖于贝叶斯更新。

　　

　　库伊[15]和范丙申[2]提出过一个猜想，可以通过如下公式将条件概率与公开宣告联系起来：

　　

　　这个公式的有效性问题以及上述两个追问需要在一个包含一元概率算子、二元条件概率算子和公开宣告算子的逻辑中讨论。

　　本文的主要工作有两个方面。第一，通过对离散概率模型的优化，我们提出了一个更符合直观的PPL模型，证明费金等人[9]提出的带有线性不等式的公理系统相对于PPL模型是弱完全的，并从模型论的角度讨论了其在互模拟和框架可定义性方面的相关性质；第二，我们提出了一个带有公开宣告算子的动态概率命题逻辑，并通过归约的方法证明了其弱完全性，此外，我们还进一步讨论了概率公式条件化与动态化之间的关系。

　　本文后续内容安排如下：第2节介绍简化的概率命题逻辑PPL及其互模拟和框架可定义性等问题。第3节给出在PPL的基础上加入公开宣告算子的动态概率命题逻辑PPL!，通过将PPL!归约到PPL证明其完全性。第4节讨论条件概率公式和包含公开宣告算子的概率公式之间的关系。第5节总结本文的主要工作并提出一些有待研究的问题。

　　2 概率命题逻辑

　　2.1 概率模型

　　德米(Demey)和萨克(Sack)[5]通过对相关文献的研究，将常用的概率模型总结为两类：概率空间模型和离散概率模型。在概率逻辑的研究进路中，费金等人[8，9]采用了概率空间模型，库伊[15]、范丙申等人[3]则使用了离散概率模型。两类模型的具体定义如下。

　　定义2.1(概率空间模型).概率命题逻辑PPL的概率空间模型为：

　　·W为非空可能世界集；