集合论悖论的哲学阐释新探

　　一、外部解释与内部解释

　　根据ZFC公理，康托集V：=｛x｜x是集合｝①和罗素集R：=｛x｜x是集合且｝不是集合。但是，为什么没有这样的集合呢?极小解释认为：V和R不是集合，因为假设它们是集合会导致悖论，会与ZFC公理相矛盾②。然而，导致矛盾或悖论并不是V和R的内在缺陷或原因，而只是它们的外在后果或结果。我们不能用这种外在后果来解释为什么V和R不是集合，因为这种解释并不能解释哪些内在缺陷致使它们不是集合。打个比方，我们不能用死亡这个结果来解释心脏骤停。为了解释心脏骤停，我们必须找到导致心脏骤停的内部原因。因此，解释的正确方向应该是：先揭示康托集V和罗素集R的内在缺陷，以此解释为什么它们不是集合，然后用它们是集合这一似是而非的预设来解释为什么会导致悖论/矛盾。因此，我们需要一个独立的、更深层次的、哲学的理由来解释为什么V和R不是集合。正如苏珊·哈克所说：“努力的方向应当是，揭示出那些被摒弃的前提或原则是一种具有某些独立的——即不依赖于其导出悖论这一点而存在的——缺陷的东西。”③袁永锋和张建军也认为，解悖的关键在于揭示这些悖论集的内在缺陷④。具体来说，我们需要回答：一个正被定义的准集合(quasi-set)要想成为集合，需要满足哪些必要条件?康托集V和罗素集R的内在缺陷是什么?这些内在缺陷分别违反了哪些必要条件?

　　ZFC研究者采用一些公理来规定一个由所有集合构成的新论域，并论证：所有集合的形成过程形成了迭代集合体系，而且每个集合都出现在这个迭代体系中的某个阶段，然而由所有集合构成的这个新论域并不出现在任何阶段，因此这个论域不是一个集合⑤⑥⑦。哥德尔(Kurt )也有这种迭代地构造集合的思想，他认为用于构造集合的元素必须先于所构造之集合而存在⑧。在这种迭代概念下，如果康托集是集合，那么它就是自属集，进而不是由给定对象迭代构造而成，所以康托集不能是集合。潜在论者也提出了类似的解释：在所有集合的形成过程中，每个阶段都可以看作是一个可能世界，每个可能世界都包含了当前已经形成的那些集合，进而潜在论的集合体系是一个由无穷多可能世界构成的模态结构，进而不存在任何包含了所有集合的可能世界，因此也就没有由所有集合构成的集合⑨⑩(11)(12)。然而，由所有集合构成的整体跟每个集合都是共存的，由所有非自属集构成的整体也跟每个非自属集是共存的；只要这些集合存在，这些整体必定同时存在。既然它们存在，那么“不处于这种体系中的任何阶段或可能世界”或“不是被迭代地构造的”这一特点就只是它们的外部特征，它甚至都不能算是缺陷，更不用说是内在缺陷了。我们不能用这样一种外部特征来解释为什么V和R不是集合，因为这种解释并不能解释这个外部特征如何能够导致它们不是集合这一事实。

　　与潜在论者相反，现实论者(如NBG集合论学者)认为V和R是某种完成的总体(称为proper class)，并采用规模限制原则来论证V和R因太大而无法称为集合(13)(14)(15)。然而，规模太大也只是V和R的外部特征，这种特征甚至不算是缺陷。这种集合的大基数怎么会是某种内在缺陷呢，这种规模限制或大小限制怎么会是集合概念的必要条件呢，V和R的大基数如何能够导致它们不是集合这一事实呢?此外，如果我们采用一些公理集合论来排除自属集，那么由所有集合构成的论域V=R。因此，如果V和R是集合，那么它们的基数和内在缺陷是相同的。但它们却导致了两种不同的矛盾，即｜V｜＜｜V｜和：前者意味着康托集V不是自身同一的，后者意味着罗素集R在R自身这一点处的内外之间没有清晰明确的边界线。那么，我们将面临一个问题：相同的大基数或内在缺陷如何导致不同种类的矛盾?现实论者没有为这些问题提供一个自然的、哲学的解释。这使得现实论解释具有高度特设性。

　　由于上述解释诉诸一些外部后果或特征来解释V和R不是集合，本文将它们称为外部解释。与此相应，本文把诉诸某些内在缺陷或原因的解释称为内部解释。在罗素类型论(16)(17)中，每个集合必须包含相同类型的元素，故V和R具有相同的内在缺陷，即包含不同类型的元素，因此它们不是集合。这种类型论解释是一种内部解释。不过，将包含不同类型的元素这一特征视为某种缺陷的观点过于特设了。此外，类型论对类型进行了反直观的区分，并且排除了数学中许多重要的概念(18)(19)(20)(21)。

　　本文将提出另一种内部解释。由于我们的目的是解释为什么康托集V和罗素集R不是集合，因此我们必须诉诸集合概念的必要条件来解释为什么它们不是集合。此外，V和R必定不满足某些必要条件，进而存在一些内在缺陷。那么集合概念的必要条件是什么，康托集V和罗素集R的内在缺陷分别是什么呢?答案隐藏在集合论悖论不同种类的矛盾中，而不同种类的矛盾其实已经启发我们这些悖论具有不同根源。在康托悖论中，我们推导出。这告诉我们｜V｜≠｜V｜，也就是说V≠V。在布拉里-福蒂悖论中，我们也可以推导出类似结论：令O为所有序数的集合，那么O也是序数，进而可以推导出O＜O并且O≠O。由于每个确定的或固定的(determinate/fixed)实体都必定是自身同一的，故康托集V和所有序数的集合O不是确定的或固定的实体或集合。因此，V和O的定义很可能不是良定义的，进而包含某种确定性(determinateness)方面的内在缺陷。与康托悖论不同，在罗素悖论中，我们推导出。这意味着罗素集R在R自身这一点处的内外之间并没有清晰的边界线，或者说非自属集概念的外延并不是集合，它在R是否属于它自身这一方面并不是清晰二分的。在米瑞曼诺夫悖论中，我们也可以推导出类似结论，即由所有良基的集合构成的集合。然而，一个实体(如｛1，2，3｝等)之为实体，在它的内部和外部之间必须有一条清晰的边界线，即每个实体要么是这个实体的部分要么不是它的部分。因此，罗素集R不可能是一个具有清晰边界线的实体或集合。因此，罗素集R应该包含一个二分性(bivalence)方面的内在缺陷，它的定义不是良定义的。因此，本文将从哲学上论证：每个良定义的实体/集合都必须具有确定性和二分性；如果V和O是集合，那么它们的确定性将被它们自己瓦解；类似的，如果R和W是集合，那么它们的二分性也会被它们自己瓦解。因此，康托悖论和布拉里-福蒂悖论植根于确定性的缺陷，而罗素悖论和米瑞曼诺夫悖论植根于二分性的缺陷；我们可以采用确定性和二分性这两个自然概念来阐明集合论悖论的根源。