1 引言 近些年来，灾害导致的供应中断时常发生，使人们的生活及社会经济活动受到严重影响。为了解决供应中断问题，企业通过投入资源恢复供应[1]。比如，特斯拉投入了大量资金协调供应中断后的生产和运输，以解决上海疫情导致的关键零部件供应受阻。其2022年第一季度的汽车交付量为31万辆，供应中断后降至25.4万辆，直至第三季度恢复至34.3万辆。可以看出，供应中断后的需求具有时变性，并且供应链恢复对保证市场需求稳定至关重要[2]。面对复杂变化的动态需求，供应链成员应选择怎样的恢复策略，以及如何决策最优的供应恢复努力水平（指恢复供应投入的资金、人力等）值得深入研究。 目前有关供应链恢复的文献大多从静态视角，采用混合整数规划、多目标决策等定量方法进行研究[3，4]。而从静态视角出发的研究不包含时间维度，无法描述当需求变动时，供应链成员的决策如何随时间调整。然而，供应中断后的需求受各种因素影响具有更强的动态性，对恢复策略也有了动态性的要求[5]。少数从动态视角出发的文章考虑了中断持续时间、恢复时间等时间要素对采购、生产和库存系统的影响[6]，比如Li等[7]针对不同的发生时间和持续时间，提出了生产库存系统应对供应中断的动态策略。基于时间敏感的动态需求，Shao等[8]提出随时间推移先后选择备用采购策略和补偿策略的策略组合。对于按订单制造供应链，Li等[9]应用最优控制理论，研究在供应中断背景下的动态采购数量及安全库存最佳消耗速度。此外，在其他供应链管理领域讨论动态恢复的研究较少。Azad和Hassini[10]将动态定价作为供应恢复策略。Khamseh等[11]基于最优控制理论，提出使总成本最小化的供应链动态恢复通用模型。王文隆等[12]考虑了线下渠道的延迟恢复，探讨在疫情背景下双渠道供应链的长期恢复努力水平。从现有的供应链恢复研究中可以发现，在时变需求下，静态视角的恢复策略不能描述如何随时间调整恢复决策，而动态视角的恢复策略更具一般性和灵活性。但该类文献的研究对象大多是采购、生产和库存系统，并往往忽视了实践中供应链恢复是在有限时间内进行的。比如311日本地震严重影响了iPad2的上市，苹果公司在原计划一个月后恢复了相关组件的供应。 在互联网技术飞速发展的今天，消费者能够轻而易举地通过网络获得当前购买环境的相关信息，比如产品价格和供应情况。当前的购买环境和先前的购买经验会使消费者对产品形成一个参考价格[13]。往往更高的参考价格能给消费者带来更多获得感，从而促进需求增加，这种参考价格对需求的影响称为参考价格效应[14，15]。全球市场调研公司欧睿的《Top 10 Global Consumer Trends 2022》白皮书提出，消费者在供应中断后存在溢价购买现象，其支付的价格高于市场销售价，比如支付高昂的费用购买供应中断的酒精、药品等[16]。说明消费者对供应中断产品的心理预期价格提高，即供应中断会影响消费者的参考价格。由此可见，若供应链成员忽视这种消费者行为要素则可能造成潜在的损失，因此考虑参考价格效应的动态恢复策略具有实践意义。在理论方面，参考价格效应被广泛地应用于定价问题中[17-19]。也有学者从供应链管理的其他方面探讨，相关结果也在逐步丰富。Zhang等[20]考虑广告决策对消费者参考价格的积极影响，建立了制造商和零售商的动态合作广告模型。李林等[21]强调了参考价格效应和消费者偏好是供应链进行绿色创新决策的重要考虑因素。朱桂菊等[22]在食品溯源供应链中引入参考价格效应，并提出一种混合契约协调供应链。赵黎明等[23]研究了在参考价格效应下，政府和企业的救灾努力决策问题。上述文献将参考价格效应与具有较强社会及经济效益的供应链管理问题结合。同样地，本文出于对社会问题的思考，考虑到供应中断会严重威胁市场秩序和经济稳定，此时参考价格效应会极大程度地影响市场需求和企业利润，本文将参考价格效应与中断供应链的恢复问题结合，针对供应商和制造商的恢复策略选择以及恢复努力水平决策展开讨论。 不同于上述研究，本文关注在有限计划期内的供应链恢复问题，考虑到恢复期间收益和投资的平衡，更大的恢复努力水平往往意味着投入了更多的资金和人力，始终以最大的努力恢复供应并不总是最佳和必要的。由于供应中断后市场需求同时受供应链恢复和消费者行为影响体现出动态特性，本文采用微分博弈的方法引入时间变量，在静态恢复策略的基础上提出动态恢复策略，创新性地引入参考价格效应，描述消费者参考价格和市场需求的时变特征，对存在供应中断风险的企业具有现实意义。企业恢复供应始终是为了维护自身市场稳定，然而高昂的中断损失和额外的恢复成本可能削弱企业的动力，这种情况下通过成本补贴的方式能有效保障各方利润[24-26]。文章进一步采用双向成本补贴契约实现供应链协调，使供应链成员做出更加灵活、合理、时变的恢复决策。 2 模型描述和基准模型 2.1 模型描述 考虑由一个供应商S和一个制造商M构成的供应链。供应中断后，供应商投入的恢复努力水平为v（t），制造商投入的恢复努力水平为E（t）。制造商作为供应链主导企业，为了激励供应商积极应对供应中断，向供应商提供恢复成本补贴比例φ。 参考价格的形成受到环境因素和消费者记忆的共同影响，供应恢复努力水平作为环境因素影响消费者的参考价格[15]。实践中，企业在有限时间内不会频繁改变产品价格，保持价格基本稳定的方针政策也要求企业承担保供稳价责任，且价格决策不是本文的研究重点，参考Zhang等[20]的观点，假设产品价格p为常数。即使产品价格改变，本文模型也可重新求解均衡的供应恢复努力水平，指导企业的供应链恢复工作。参考价格的变化遵循下式：
=β（p-r（t））+μ[，1]v（t）+μ[，2]E（t）， （1） 式（1）中β（p-r（t））表示消费者先前的购买经验，β（β＞0）为记忆系数，取值越低意味着消费者参考价格越不容易受到近期记忆的影响，消费者忠诚度越高。μ[，1]v（t）和μ[，2]E（t）表示恢复努力水平对参考价格的影响，通常来讲供应中断越严重，恢复努力投入越多，消费者对产品的参考价格越高，因此系数μ[，1]＞0，μ[，2]＞0。初始参考价格r（0）=r[，0]（r[，0]＞0）。 参考价格效应会导致需求在不同时间存在差异，比如在消费者得知供应中断信息后，其对产品的参考价格由于焦虑心理有所增加，导致市场需求骤增，随着供应链的恢复，消费者需求又会逐渐回落。与许多学者的研究一致，参考价格和产品价格的差值与需求之间存在线性关系[27]。当参考价格大于产品价格时需求增加，当参考价格小于产品价格时产生相反的影响。消费者对参考价格的敏感系数α（α＞0）表示消费者对自身参考价格与产品价格之间差异的敏感程度。q[，0]为供应中断后的市场潜在规模，θ（θ＞0）为恢复系数。故需求表示为q（t）=q[，0]+α（r（t）-p）+θ（v（t）+E（t））。
