基于广义框架的概率认知逻辑

      1 引言

      概率认知逻辑最早由费金（R.Fagin）和哈尔彭（J.Y.Halpern）在[7]中提出，他们将概率公理结合到认知逻辑中，提出了概率认知逻辑的公理化系统，讨论了完全性，可判定性和模型的一些特殊性质。巴尔塔格（A.Baltag）、范·本特姆（J.van Benthem）、库伊（B.P.Kooi）等人分别在[2，3，9]中推进了概率认知逻辑在概率认知动态化方面的研究，并提出了另一种概率指派方法。概率认知逻辑语义模型可以据其关于概率指派的不同方法概括为两种①：将概率函数建立在概率空间上的概率空间认知模型，文献[1，5，7，11]采用了这种方法；将概率函数建立在每一个可能世界上的离散概率认知模型，文献[2，3，5，9]采用了这种方法。

      采用概率空间认知模型的做法无法保证所有公式都被指派概率。因而如果所有给定的命题都有概率，概率空间认知模型就不能恰当地刻画这种情形下的概率推理。为了让模型能够为给定语言中的所有公式指派概率，文献[7]定义了一个关于原子命题和三个关于概率函数的特殊性质②，前者使得所有命题逻辑公式是可测的，后者使得认知逻辑公式和概率公式是可测的。但是就模型的可测问题而言，这一方案中的限定过强了。文献[5]注意到广义框架中可允许赋值集与σ-代数③的共通点，并据这一共通点提供了一个更好的方案。但是为了解决概率公式的可测问题，这一方案给出的定义过于繁琐，模型构造的可操作性不强。离散概率认知模型为每个可能世界指派概率，因而不存在概率公式的可测问题。但离散概率认知模型不能在可数无穷多个世界的情形下为所有世界指派相等的概率。④

      文献[4]给出的广义框架中关于可允许赋值集的定义与概率空间中的σ-代数的定义相似。广义框架的英文表述为general frame，可允许赋值集的英文表述为set of admissible valuations。可允许赋值集对运算封闭性的要求在一定程度上可以解决[7]指出的公式不可测问题，同时它又能解决离散概率认知模型面临的问题。因此，我们尝试用广义框架代替普通框架，并将概率指派到可允许赋值集上。我们给出了一个可靠且完全的概率认知逻辑公理系统并表明这一逻辑适用于谈论混合策略博弈。

      本节以后的内容安排如下：第二节介绍基于广义框架的概率认知逻辑的语言、语义和公理系统PELG（Probabilistic Epistemic Logic based on General frame），并通过模型比较，明确了基于广义框架的概率认知模型的优势；第三节证明PELG的可靠性和完全性；第四节运用基于广义框架的概率认知模型刻画混合策略博弈的两种状态；第五节总结本文的主要工作和一些有待研究的问题。

      2 基于广义框架的概率认知逻辑PELG

      2.1 PELG语言

      

      2.2 基于广义框架的概率认知模型

      

      

      

      

      定理2.1.所有-公式在概率认知模型中都是可测的。

      对-公式的结构进行归纳易证定理2.1。概率认知模型定义表明，可允许赋值集关于补运算、并运算、模态运算的封闭性要求，分别对应于公式的否定、公式的合取以及公式的模态。命题逻辑原子公式赋值函数保证了所有给定的命题逻辑原子公式的外延都在可允许赋值集中。再据以上封闭性条件，可得所有据给定的命题逻辑原子公式生成的-认知公式（不含概率公式）的外延都在可允许赋值集中。

      

      [5]提出了一个广义σ-代数⑦，但没有明确地定义出基于广义框架的概率认知模型。据命题2.2可知，这一方案所定义的模型等价于本文定义的概率认知模型。相对而言，本文定义的概率认知模型更为简洁、易于构造。此外，基于广义框架的概率认知模型由于保留了概率空间的性质而能够在可能世界集是可数无穷的情况下为不同的世界子集指派均等概率。