物质是否无限可分？这是自古以来就长期争论的一个重大哲学问题。古希腊哲学家芝诺在2000多年前关于否定“多”的论证，可以说在客观上第一次揭示了物质、空间的连续性和间断性、可分性和不可分性的矛盾。所以分析一下芝诺的这个论证，对于深入认识物质可分和不可分的辩证本性，无疑是很有意义的。 芝诺从存在是“一”而不是“多”的哲学观点出发，认为多是不真实的，“如果事物是多数的，它们就必定既小又大，小到根本没有大小，大到无限。”[①]因为，一方面多是由许多部分集合而成，它的各个部分可以无限分割到没有体积，把这些无限多无体积的部分加在一起，它仍然无体积，因此它是零，是无限小；另方面，如果把各个部分无限分割到最小最小的体积，把无限多有体积的部分加在一起，它就会是无限大。这就出现了存在物既小又大的矛盾，从而否定了多的真实性。 显然，芝诺的二难推理是错误的。由于芝诺的论证主要是从量的方面进行的，所以我们在下面对它的分析也将主要根据现代数学的一些成果来进行。 关于芝诺第一方面的论证，有两点值得讨论：一是对存在物的各部分是否能够无限分割到没有体积？二是把这些无体积的部分加在一起是否仍然无体积？ 先看第一点，即对存在物能否无限分割到没有体积、能否分到零的问题。数学分析中关于无穷小是以零为极限的变量的原理，说明对存在物无限分割是可以分到没有大小、没有体积的极限零的，这里所谓零也就是没有大小的实数点。因为无限小变量越来越趋向于极限零的变化趋势，而极限零又是相对确定不变的界限，所以最终达到极限零是必然的。微积分运用的“化整为零”和“积零为整”的思想，就是建立在极限理论基础上的。极限理论以及建立在极限理论基础上的微积分学能对大量实际问题进行精确计算，说明无限小变量是能够达到极限零的。比如圆内接或外切正多边形的周长，只有当边数无限增加，每边长无限变小并达到零时，才能转化为圆周长。假如无限小不能转化为零即不能达到它的极限零，则圆内接或外切正多边形周长也就不可能转化为圆周长了。这表明无限小变量在变化中的确可以达到极限零，所以对存在物是可以无穷分割到没有体积、没有大小的零的。但关于第二点，即无限多无体积的零加在一起是否仍然无体积、仍然是零呢？回答却是否定的。几何学告诉我们，几何点是构成几何图形的最基本组元，比如圆周长就是由无数没有大小的几何点构成的，这表明没有大小、没有体积的数学点即零，是可以构成有大小、有体积的具体空间的。就是说无数个点之和亦即无数个“零”相加，结果并不还是“零”，而是有大小、有广延的具体空间。那么无广延无大小的实数点，为什么能排列组合成有大小有体积的具体空间呢？根据鲁宾逊的非标准分析，原来在扩充的实数域中存在着大于零小于一切正实数的实在无穷小，也就是在每个实数点周围存在许多不确定的非标准数。这表明在实数点之间存在着无穷小量，亦即在各“数学点”之间存在有限小间隔，以对应于直线的无穷小线段，这些实数点通过无穷小量而互相联系起来，从而构成了一个有确定大小的具体空间。可见，把有体积的部分无限分割到零，并不能得出无限个零相加还是零的结论。 现在再看看芝诺另一方面的推论，即把无限多有体积的部分加在一起就会是无限大。这里也有两个问题需要讨论：一是对存在物无限分割是否可以分到仍有最小体积的终值？二是无限多有体积的部分加在一起是否就会是无限大？ 关于第一个问题，把存在物无限分割是否可以分到仍有最小体积的终值呢？前面我们曾说到，根据鲁宾逊的非标准分析，在扩充的实数域中的确存在着大于零并小于所有正数的实在无穷小，也就是说在一个越来越接近于零的无穷数列中，总能存在着一个大于零并小于一切正数的最终项或终值，即仍有大小的确定的实在无穷小。但关于第二个问题即无限多有体积的部分加在一起是否就会是无限大？我们认为不一定是无限大，而可以是个有限数。数学分析中收敛的无穷级数原理说明无穷多项之和就是一个确定的数（以极限理论为基础和以实在无穷小为基础一样，都能得出无穷级数的正确计算结果）。比如由人们熟知的《庄子·天下篇》中的一句
恰恰等于1尺之长。由此可见，存在物的任何部分虽然可以无限分割到实在无穷小，但所分割的无穷多项之和仍然只能等于这个部分，而不会超出这个部分，即决不会是无限的。 总之，以上的分析说明芝诺的二难推理并不能成立。但它在客观上却揭示了物质、空间的“一”与“多”、连续性和间接性、不可分性和可分性的矛盾。当芝诺说存在物是唯一不二时，或说把存在物可以分到没有体积的单位时，表明物质是连续的、不可分的。当芝诺论证说，多是由许多部分构成时，或说存在物可分到无数有最小体积的部分时，则又表明物质是间接的，可分的。 当然，芝诺虽然在客观上揭示了事物的连续和间断、可分和不可分的矛盾，但他并不懂得二者的辩证关系。历史上关于物质是否无限可分的争论也都在于没有真正明确物质可分和不可分的辩证关系。在这里，芝诺论辩的错误从根本上说就在于把事物连续性和间断性、不可分性和可分性形而上学地绝对对立起来、割裂开来。一方面，芝诺曾在人们熟知的“二分辩”“追龟辩”等否定运动的论证中，片面夸大运动的间断性、可分性，抹煞运动的连续性、不可分性，从而导致了运动不可能的结论。另一方面，芝诺在否定“多”的论证中却走上了另一个极端，即把事物的连续性、统一性、不可分性绝对化，从而否定了事物的间断性、可分性。其实，全部科学史早已表明，连续性和间断性、不可分性和可分性是一切事物都具有的两种不可分割的基本属性，二者互相包含、互相依赖、互相规定，是辩证的统一。没有脱离连续的间断，也没有脱离间断的连续，没有离开不可分的可分，也没有离开可分的不可分，物质就是可分和不可分的统一。这里所谓的可分是说事物都有其不同的组成部分，不可分则是说事物都是统一的整体，所以可分不是特指某种分的具体方式。关于连续性和间断性、不可分性和可分性的辩证关系，黑格尔曾深刻指出：“既然两个对立面每一个都在自身那里包含着另一个，没有这一方面也就不可能设想另一方，那末其结果就是：这些规定单独看来都没有真理，唯有它们的统一才有真理。”[②]列宁说黑格尔的这一结论是“真正的辩证法”[③]。
